מבחן לדוגמה: חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 4 יח"ל

נתונים שני וקטורים $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$ באותו אורך, והזווית ביניהם $120^\circ$. נתון: $|3\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{28}$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$. המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש-$\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AC}=\underline v$, $\overrightarrow{AS}=\underline w$. נתון: $|\underline u|=|\underline v|=3$, $|\underline w|=4$, $\angle BAC=120^\circ$.

נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו-$\angle BAD=60^\circ$. גובה המנסרה $AA'=2$. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $CC'$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$.

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$, והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DQ}=\frac23\vec{DD'}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$.

בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $AB$, כך ש-$AF=\frac13AB$. הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון $D'B'$, כך שמתקיים $\vec{D'E}=\frac23\vec{D'B'}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$.

בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$, $BD$ ו-$CD$ מאונכים זה לזה, ונתון: $DA=DB=2$, $DC=1$ (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$, ומתקיים $\overrightarrow{BE}=s\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}$ ($s$, $t$ מספרים). נסמן: $\overrightarrow{DA}=\underline u$, $\overrightarrow{DB}=\underline v$, $\overrightarrow{DC}=\underline w$.