שאלות פתוחות: חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית, לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים אורך של צירוף וקטורים כשהאורכים והזווית ידועים, או מוצאים את האורך מתוך אורך צירוף נתון, ומחשבים אורכי קטעים במשושה משוכלל, בתיבה, במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית ובפירמידה שבה מקצועות צדדיים מאונכים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. מורים יכולים להרכיב מכאן מבחן או דף עבודה בווקטורים, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

72 שאלותקלה: 17בינונית: 42קשה: 13

שאלה 1 · חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורים u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v באותו אורך, והזווית ביניהם 120∘120^\circ120∘. נתון: ∣3u→+v→∣=28|3\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{28}∣3u+v∣=28​.

מצאו את אורך הווקטור u→\vec{u}u.

שאלה 2 · חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

נתונים הווקטורים u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v: ∣u→∣=1|\vec{u}|=1∣u∣=1, ∣v→∣=2|\vec{v}|=2∣v∣=2, והזווית ביניהם 60∘60^\circ60∘. הווקטור w→=xu→+yv→\vec{w}=x\vec{u}+y\vec{v}w=xu+yv מקיים w→⋅u→=3\vec{w}\cdot\vec{u}=3w⋅u=3 ו-w→⋅v→=8\vec{w}\cdot\vec{v}=8w⋅v=8.

א.

מצאו את xxx ואת yyy.

ב.

חשבו את אורך הווקטור w→\vec{w}w.

שאלה 3 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=6AB=6AB=6, AD=4AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘, ונפח המנסרה הוא 72372\sqrt3723​.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע C′D′C'D'C′D′ ומקיימת C′E→=t⋅C′D′→\vec{C'E}=t\cdot\vec{C'D'}C′E=t⋅C′D′, כאשר 0≤t≤10\le t\le10≤t≤1.
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'E

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt את הווקטורים B′A→\vec{B'A}B′A ו-B′E→\vec{B'E}B′E.

ב.

מצאו את הערך של ttt שעבורו B′A→\vec{B'A}B′A מאונך ל-B′E→\vec{B'E}B′E.

ג.

חשבו את גובה המנסרה.

ד.

עבור הערך של ttt שמצאתם בסעיף ב, חשבו את שטח המשולש AB′EAB'EAB′E.

ה.

עבור t=12t=\frac12t=21​ (כלומר כאשר EEE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'C′D′), קבעו אם הזווית AB′EAB'EAB′E חדה, ישרה או קהה. נמקו.

שאלה 4 · חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורים u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v. נתון: ∣u→∣=3|\vec{u}|=3∣u∣=3, ∣v→∣=5|\vec{v}|=5∣v∣=5, u→⋅v→=−6\vec{u}\cdot\vec{v}=-6u⋅v=−6.

חשבו את אורך הווקטור u→+2v→\vec{u}+2\vec{v}u+2v.

שאלה 5 · חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

ABCDEFABCDEFABCDEF הוא משושה משוכלל שאורך צלעו 222, ו-MMM היא אמצע הצלע CDCDCD (ראו שרטוט). נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u ו-AF→=v→\overrightarrow{AF}=\vec{v}AF=v.
ABCDEFM

א.

הביעו את AM→\overrightarrow{AM}AM באמצעות u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v.

ב.

חשבו את אורך הקטע AMAMAM.

שאלה 6 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב הגובה ונפחשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCSABCSABC (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים SASASA, SBSBSB, SCSCSC הוא 4. נתון: ∠ASB=∠ASC=90∘\angle ASB=\angle ASC=90^\circ∠ASB=∠ASC=90∘, ∠BSC=60∘\angle BSC=60^\circ∠BSC=60∘. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline uSA=u​, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline vSB=v​, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline wSC=w​. הנקודה MMM נמצאת במישור ABCABCABC, ו-SMSMSM מאונך למישור ABCABCABC.
uvwABCS

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​.

ב.

הביעו את SM→\overrightarrow{SM}SM באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ג.

חשבו את גובה הפירמידה לבסיס ABCABCABC.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה SABCSABCSABC.

שאלה 7 · וקטורים בתיבה: טרפז בין מרכז התיבה למקצועשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=4AA'=4AA′=4. הנקודה EEE היא אמצע האלכסון BD′BD'BD′, והנקודה FFF היא אמצע המקצוע AA′AA'AA′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}AA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטורים AC→\overrightarrow{AC}AC, AE→\overrightarrow{AE}AE ו-FE→\overrightarrow{FE}FE.

ב.

הראו כי FE∥ACFE\parallel ACFE∥AC, ומצאו את היחס FEAC\frac{FE}{AC}ACFE​.

ג.

הראו כי הזוויות FACFACFAC ו-AFEAFEAFE ישרות.

ד.

חשבו את אורך הקטע CECECE ואת גודל הזווית ACEACEACE. היעזרו בווקטורים CA→\overrightarrow{CA}CA ו-CE→\overrightarrow{CE}CE.

ה.

מצאו את זוויות הטרפז ACEFACEFACEF.

שאלה 8 · חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

שלושה וקטורים u→\vec{u}u, v→\vec{v}v, w→\vec{w}w, שאינם וקטורי האפס, נמצאים באותו מישור. הזווית בין u→\vec{u}u ל-v→\vec{v}v היא 70∘70^\circ70∘, והזווית בין v→\vec{v}v ל-w→\vec{w}w היא 50∘50^\circ50∘.

א.

מצאו את כל הערכים האפשריים של הזווית בין u→\vec{u}u ל-w→\vec{w}w. נמקו.

ב.

נתון בנוסף: ∣u→∣=∣w→∣=2|\vec{u}|=|\vec{w}|=2∣u∣=∣w∣=2 ו-u→⋅w→<0\vec{u}\cdot\vec{w}<0u⋅w<0. מצאו את ∣u→+w→∣|\vec{u}+\vec{w}|∣u+w∣.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב האנך מקודקוד למישורשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת ABCDABCDABCD המקצועות ADADAD, BDBDBD ו-CDCDCD מאונכים זה לזה, ונתון: DA=DB=2DA=DB=2DA=DB=2, DC=1DC=1DC=1 (ראו סרטוט). הנקודה EEE נמצאת על המישור ABCABCABC, ומתקיים BE→=s⋅BA→+t⋅BC→\overrightarrow{BE}=s\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}BE=s⋅BA+t⋅BC (sss, ttt מספרים). נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline uDA=u​, DB→=v‾\overrightarrow{DB}=\underline vDB=v​, DC→=w‾\overrightarrow{DC}=\underline wDC=w​.
uvwDABCE

א.

הביעו את DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​, sss ו-ttt.

ב.

נתון כי DE→\overrightarrow{DE}DE מאונך למישור ABCABCABC.

מצאו את sss ואת ttt.

ג.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד.

מצאו את המרחק של הקודקוד DDD מהמישור ABCABCABC.

שאלה 10 · וקטורים בפירמידה ריבועית: הגובה והנפחשאלה מלאה · קלה

נתונה פירמידה ישרה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע. כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2. הנקודה OOO היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס.
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline wAS=w​.
ABCDSO

א.

הסבירו מדוע u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0u​⋅v​=0, וחשבו את u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​ ואת v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​. (הזווית בין u‾\underline uu​ ל-w‾\underline ww​ היא הזווית SABSABSAB.)

ב.

הראו כי SO→=12u‾+12v‾−w‾\overrightarrow{SO}=\frac12\underline u+\frac12\underline v-\underline wSO=21​u​+21​v​−w​.

ג.

חשבו את האורך ∣SO→∣|\overrightarrow{SO}|∣SO∣ ואת גודל הזווית BSOBSOBSO.

ד.

הראו כי SO→\overrightarrow{SO}SO מאונך ל-u‾\underline uu​ ול-v‾\underline vv​, וחשבו את נפח הפירמידה.

עוד 48 שאלות על חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ ו- $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ . נתון: $|\vec{u}|=4$ , $|\vec{v}|=6$ ,…
וקטורים בתיבה שגובהה משתנה: זווית וגובה (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=h$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ .…
וקטורים בקובייה: מלבן שקודקודיו באמצעי המקצועות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות $E$ , $F$ , $G$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AA'$ , $AB$ , $CC'$ ו- $D'C'$ …
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה $ABCA'B'C'$ שבשרטוט הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $4$ . אורך המקצוע הצדדי $AA'$ הוא $6$ , והוא יוצר זווית של $60^\circ$ …
וקטורים בפירמידה: מנפח לאורך מקצוע ולזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=8$ . המקצוע $SD$ מאונך ל- $AD$ , והמקצוע $SB$ מאונך ל- $AB$ . נסמן:…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הווקטורים $\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ . נתון: $|\vec{u}|=2$ , $|\vec{v}|=3$ , והזווית ביניהם $60^\circ$ . $t$ הוא מספר ממשי שעבורו…
וקטורים בפירמידה: הנקודה על המקצוע הקרובה ביותר לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=2$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
וקטורים בפירמידה עם מקצועות מאונכים: גובה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABC$ (ראו סרטוט). המקצועות הצדדיים $SA$ , $SB$ ו- $SC$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 6. נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline u$ ,…
וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $CC'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $BD'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בפירמידה: הגובה שקובע את הזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס…
וקטורים בפירמידה עם מקצועות ניצבים שווים: זווית, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 3 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ ,…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 3. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בתיבה: איפה על המקצוע נוצרת זווית ישרה (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
וקטורים בתיבה: אמצע אלכסון וזווית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבה $AB=4$ , $AD=2$ ו- $AA'=4$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן:…
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $F$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AB$ ו- $D'C'$ בהתאמה. הנקודה $E$ מקיימת:…
וקטורים בפירמידה: מיקום נקודה מתנאי ניצבות (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע: אורך מקצוע ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ , נפח המנסרה הוא 12. הנקודה $F$ היא…
וקטורים בתיבה: נקודה משתנה על האלכסון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון…
וקטורים בתיבה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה $A'B'C'D'$ , והנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=60^\circ$ ,…
מנסרה ישרה: איפה על המקצוע הזווית ישרה ומה גובה המנסרה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=5$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ . גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה…
וקטורים בפירמידה: ניצבות בבסיס ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
מציאת מקדם $t$ מאורך נתון של $u + t v$ (שאלה קצרה · קשה)
נתונים הווקטורים $\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ . נתון: $|\vec{u}|=2$ , $|\vec{v}|=3$ , והזווית ביניהם $60^\circ$ . $t$ הוא מספר ממשי שעבורו…
וקטורים בקובייה: גובה במשולש אלכסונים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 6. הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $B'D'$ של הפאה העליונה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
בתיבה: אורך חלק מאלכסון ומציאת הגובה משוויון אורכים (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $AB$ , כך ש- $AF=\frac13AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle DAB=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=4$ . הנקודה $M$ …
וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן: גובה ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=6$ ו- $AD=4$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים במנסרה ישרה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=4$ , $AD=2$ , $AA'=3$ , $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $DC$ .…
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABC$ . הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה-צלעות שאורך צלעו 6. הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע אמצעים המקביל לבסיס (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AD}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ , הנקודה…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
וקטורים במנסרה ישרה: מהבעת וקטורים לזווית (שאלה מלאה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיסים הם משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2, וגובה המנסרה הוא $AA'=3$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (בסיס עם צלעות שונות) (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BS$ כך ש- $\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{BS}$ . הנקודה…
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע צדדי, ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש- $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CS}$ . הנקודה…
וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $AB$ , כך ש- $AF=\frac13AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $BD$ של הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע…
וקטורים במנסרה משולשת ישרה: גובה המנסרה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ). הנקודה $F$ נמצאת על…
וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ …
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline a$ , $\overrightarrow{SB}=\underline b$ , $\overrightarrow{SC}=\underline c$ . נתון:…
וקטורים במנסרה ישרה עם זווית קהה בבסיס: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $A'B'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ …
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית עם זווית קהה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=3$ , $AD=2$ , $AA'=3$ , $\angle BAD=120^\circ$ . הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $AB$ …
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . גובה המנסרה $AA'=2$ . הנקודה $M$ היא אמצע…
אורכי שני קטעים בקובייה בעזרת ריבוע סקלרי (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות $F$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AB$ ו- $D'C'$ בהתאמה. הנקודה $E$ מקיימת:…
אורך מקצוע צדדי בפירמידה: ביטוי וקטורים, מכפלות סקלריות מתנאי ניצבות ואורך (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בקובייה: טרפז שקודקודו במרכז הקובייה · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
נתונה קובייה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BB'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $AC'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ ,…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע (ראה ציור). כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $AD$ . נסמן:…
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $E$ ו- $G$ הן אמצעי המקצועות $AA'$ ו- $CC'$ בהתאמה. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AB}$ . הנקודה $H$ …
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מעוין: טענות על מכפלות סקלריות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, $\angle BAD=60^\circ$ , נפח המנסרה הוא $8\sqrt3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: מכפלות סקלריות, ניצבות למישור ונפח · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3. נתון: $\angle ASB=\angle BSC=\angle ASC=30^\circ$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות למישור · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 1
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה: מכפלות סקלריות, גובה ונפח · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AS}=\underline w$ .
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DP}=\frac13\vec{DD'}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בתיבה: ניצבות לאלכסון ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון $A'C'$ , כך שמתקיים…
וקטורים במנסרה ישרה: הוכחת ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ מקיימת $\overrightarrow{AP}=\frac34\vec{AA'}$ . נסמן:…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: אורך, זווית ושטח משולש · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=1$ , $AA'=4$ , $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DC$ ומחלקת אותו ביחס…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה P נמצאת על האלכסון $AC'$ ומקיימת $\overrightarrow{AP}=t\cdot\vec{AC'}$ .…