מבחן לדוגמה: חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 4 יח"ל

נתונים שני וקטורים מאונכים $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$. נתון: $|\vec{u}|=\sqrt{3}$, $|\vec{v}|=1$.

נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2. הנקודה $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס.

נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{AS}=\underline w$.

נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$. $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=3$, $AD=2$, $AA'=3$, $\angle BAD=120^\circ$. הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $AB$ ומחלקת אותו ביחס $AK:KB=1:2$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$.

נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=60^\circ$, $\angle BSC=90^\circ$. נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline u$, $\overrightarrow{SB}=\underline v$, $\overrightarrow{SC}=\underline w$. הנקודה $M$ נמצאת במישור $ABC$. ידוע כי $\overrightarrow{SM}=\frac12\underline v+\frac12\underline w$.

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=h$. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u$.

נתון: $\overrightarrow{BF}=-\frac12\underline u+\frac12\underline v+\frac12\underline w$.

נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $CC'$, והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $BD'$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$, $\vec{AA'}=\underline{w}$. נתון: $|\underline{u}|=2$, $|\underline{v}|=1$, $|\underline{w}|=2$.

נתון: $\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$, $\overrightarrow{AE}=\frac12(\underline u+\underline v+\underline w)$, $\overrightarrow{CF}=\frac12\underline w$, ו-$EF\parallel AC$, כלומר $EACF$ הוא טרפז שבסיסיו $EF$ ו-$AC$.