דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: ניצבות בין שני וקטורים - כיתה י"ב 4 יח"ל

6 שאלות פתוחות על ניצבות בין שני וקטורים (מכפלה סקלרית בגישה גאומטרית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 4 יח"ל
ניצבות בין שני וקטורים
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · ניצבות בין אלכסון התיבה לאלכסון הבסיסשאלה קצרה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=3AA'=3. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}.

ABCDA'B'C'D'

הוכיחו כי AC′⊥BDAC'\perp BD.

שאלה 2 · וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו-∠DAB=60∘\angle DAB=60^\circ. גובה המנסרה הוא AA′=4AA'=4. הנקודה MM היא אמצע המקצוע C′D′C'D', והנקודה PP היא אמצע המקצוע AA′AA'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'MP
א.
(1)

הראו כי PM→=12u‾+v‾+12w‾\overrightarrow{PM}=\frac12\underline u+\underline v+\frac12\underline w.

(2)

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטור CM→\overrightarrow{CM}.

ב.

מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w.

ג.

הוכיחו כי PM→\overrightarrow{PM} מאונך ל-CM→\overrightarrow{CM}.

ד.

חשבו את האורכים ∣PM→∣|\overrightarrow{PM}| ו-∣CM→∣|\overrightarrow{CM}|.

ה.

חשבו את שטח המשולש PMCPMC. היעזרו בסעיף ג.

שאלה 3 · ניצבות בין שני וקטוריםשאלה קצרה · בינונית

נתונה מנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבסיסה ABCABC הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו 2. גובה המנסרה הוא 2\sqrt2.

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCA'B'C'
א.

הביעו את AB′→\vec{AB'} ואת BC′→\vec{BC'} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

האם AB′→\vec{AB'} מאונך ל-BC′→\vec{BC'}? נמקו.

שאלה 4 · ניצבות בין שני קטעים בתיבהשאלת ביניים · בינונית

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה MM היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה A′B′C′D′A'B'C'D', והנקודה PP היא אמצע המקצוע CC′CC'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'MP
א.

הביעו את הווקטורים AM→\overrightarrow{AM} ו-AP→\overrightarrow{AP} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הראו כי MP→=12u‾+12v‾−12w‾\overrightarrow{MP}=\frac12\underline u+\frac12\underline v-\frac12\underline w.

ג.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=3|\underline u|=|\underline v|=3, ∣w‾∣=6|\underline w|=6.

הוכיחו כי AP→\overrightarrow{AP} מאונך ל-MP→\overrightarrow{MP}.

שאלה 5 · אורך מקצוע שעבורו שני וקטורים בפירמידה מאונכיםשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. הנקודה EE היא אמצע המקצוע SCSC. ASAS מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w.

ABCDSE
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים EB→\overrightarrow{EB} ו-ED→\overrightarrow{ED}.

ב.

נתון: ∣u‾∣=4|\underline u|=4.

מצאו את אורך המקצוע ASAS שעבורו EB→\overrightarrow{EB} מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}.

ג.

בסעיף זה נתון: AS=3AS=3.

קבעו אם הזווית BEDBED חדה, ישרה או קהה, וחשבו את גודלה.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה: איפה על המקצוע נוצרת זווית ישרהשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה MM היא מפגש האלכסונים בפאה A′B′C′D′A'B'C'D'. נקודה PP נמצאת על המקצוע CC′CC' ומקיימת CP→=t⋅CC′→\overrightarrow{CP}=t\cdot\vec{CC'}, כאשר 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'MP
א.

הביעו את הווקטורים AP→\overrightarrow{AP} ו-MP→\overrightarrow{MP} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-tt.

ב.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=4|\underline u|=|\underline v|=4, ∣w‾∣=10|\underline w|=10.

מצאו את כל הערכים של tt שבעבורם AP→\overrightarrow{AP} מאונך ל-MP→\overrightarrow{MP}.

ג.

בעבור כל אחד מן הערכים של tt שמצאתם בסעיף ב חשבו את שטח המשולש APMAPM. באיזה מן המקרים השטח גדול יותר?

ד.

מעתה נתון כי אורך המקצוע AA′AA' הוא 8, ועדיין ∣u‾∣=∣v‾∣=4|\underline u|=|\underline v|=4.

מצאו את הערך של tt שבעבורו AP→\overrightarrow{AP} מאונך ל-MP→\overrightarrow{MP}. מהו המיקום של PP על המקצוע CC′CC' במקרה זה? חשבו את שטח המשולש APMAPM.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.