שאלות פתוחות: ניצבות בין שני וקטורים - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על ניצבות בין שני וקטורים לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מוצאים מקדם כך ששני צירופים של וקטורי יחידה יהיו מאונכים, מוצאים את הזווית בין וקטורים כשנתון ששני צירופים שלהם מאונכים, ומוכיחים ניצבות של קטעים בריבוע עם נקודות על הצלע ועל האלכסון. יש גם שאלות בתיבה ובמנסרה ישרה עם נקודות אמצע. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. אפשר לבנות מהן דף עבודה, בוחן או מבחן, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

86 שאלותקלה: 17בינונית: 54קשה: 15

שאלה 1 · ניצבות בין שני וקטוריםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורי יחידה a→\vec{a}a ו-b→\vec{b}b (∣a→∣=∣b→∣=1|\vec{a}|=|\vec{b}|=1∣a∣=∣b∣=1), והזווית ביניהם 60∘60^\circ60∘.

מצאו את ערך ttt שעבורו הווקטורים a→+tb→\vec{a}+t\vec{b}a+tb ו-2a→−3b→2\vec{a}-3\vec{b}2a−3b מאונכים זה לזה.

שאלה 2 · ניצבות בין שני וקטוריםשאלה קצרה · בינונית

u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v הם וקטורים שאורך כל אחד מהם 111, והזווית ביניהם 120∘120^\circ120∘.

מצאו את ערכי ttt שעבורם הווקטור u→+tv→\vec{u}+t\vec{v}u+tv מאונך לווקטור tu→+v→t\vec{u}+\vec{v}tu+v.

שאלה 3 · ניצבות בין שני וקטוריםשאלה קצרה · קשה

נתון ריבוע ABCDABCDABCD שאורך צלעו 333 (ראו שרטוט). PPP היא נקודה על האלכסון BDBDBD כך ש-BP→=13BD→\overrightarrow{BP}=\frac13\overrightarrow{BD}BP=31​BD, ו-EEE ו-FFF הם עקבי האנכים מ-PPP לצלעות ABABAB ו-ADADAD בהתאמה. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v.
ABCDPEF

א.

הביעו את הווקטורים CP→\overrightarrow{CP}CP ו-EF→\overrightarrow{EF}EF באמצעות u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v.

ב.

הוכיחו כי CPCPCP מאונך ל-EFEFEF.

שאלה 4 · ניצבות בין שני וקטוריםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורים a→\vec{a}a ו-b→\vec{b}b. נתון: ∣a→∣=4|\vec{a}|=4∣a∣=4, ∣b→∣=2|\vec{b}|=2∣b∣=2, והווקטורים a→+3b→\vec{a}+3\vec{b}a+3b ו-2a→−b→2\vec{a}-\vec{b}2a−b מאונכים זה לזה.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית a→⋅b→\vec{a}\cdot\vec{b}a⋅b.

ב.

מצאו את הזווית בין הווקטורים a→\vec{a}a ו-b→\vec{b}b.

שאלה 5 · ניצבות בין שני וקטוריםשאלה קצרה · בינונית

נתון ריבוע ABCDABCDABCD שאורך צלעו 222. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v. הנקודה MMM היא אמצע הצלע CDCDCD, והנקודה NNN היא אמצע הצלע BCBCBC.
uvABCDMN

א.

הוכיחו כי AMAMAM מאונך ל-DNDNDN.

ב.

האם AMAMAM מאונך לאלכסון BDBDBD? נמקו.

שאלה 6 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=6AB=6AB=6, AD=4AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘, ונפח המנסרה הוא 72372\sqrt3723​.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע C′D′C'D'C′D′ ומקיימת C′E→=t⋅C′D′→\vec{C'E}=t\cdot\vec{C'D'}C′E=t⋅C′D′, כאשר 0≤t≤10\le t\le10≤t≤1.
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'E

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt את הווקטורים B′A→\vec{B'A}B′A ו-B′E→\vec{B'E}B′E.

ב.

מצאו את הערך של ttt שעבורו B′A→\vec{B'A}B′A מאונך ל-B′E→\vec{B'E}B′E.

ג.

חשבו את גובה המנסרה.

ד.

עבור הערך של ttt שמצאתם בסעיף ב, חשבו את שטח המשולש AB′EAB'EAB′E.

ה.

עבור t=12t=\frac12t=21​ (כלומר כאשר EEE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'C′D′), קבעו אם הזווית AB′EAB'EAB′E חדה, ישרה או קהה. נמקו.

שאלה 7 · וקטורים בתיבה: טרפז בין מרכז התיבה למקצועשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=4AA'=4AA′=4. הנקודה EEE היא אמצע האלכסון BD′BD'BD′, והנקודה FFF היא אמצע המקצוע AA′AA'AA′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}AA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטורים AC→\overrightarrow{AC}AC, AE→\overrightarrow{AE}AE ו-FE→\overrightarrow{FE}FE.

ב.

הראו כי FE∥ACFE\parallel ACFE∥AC, ומצאו את היחס FEAC\frac{FE}{AC}ACFE​.

ג.

הראו כי הזוויות FACFACFAC ו-AFEAFEAFE ישרות.

ד.

חשבו את אורך הקטע CECECE ואת גודל הזווית ACEACEACE. היעזרו בווקטורים CA→\overrightarrow{CA}CA ו-CE→\overrightarrow{CE}CE.

ה.

מצאו את זוויות הטרפז ACEFACEFACEF.

שאלה 8 · וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבהשאלה מלאה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. הנקודה FFF היא אמצע המקצוע CC′CC'CC′, והנקודה EEE היא אמצע האלכסון BD′BD'BD′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}AA′=w​. נתון: ∣u‾∣=2|\underline{u}|=2∣u​∣=2, ∣v‾∣=1|\underline{v}|=1∣v​∣=1, ∣w‾∣=2|\underline{w}|=2∣w​∣=2.
uvwABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}EF, BD′→\vec{BD'}BD′, AC→\overrightarrow{AC}AC ו-AE→\overrightarrow{AE}AE באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​.

ב.

(1)

חשבו את אורך הווקטורים AC→\overrightarrow{AC}AC ו-AE→\overrightarrow{AE}AE.

(2)

חשבו את גודל הזווית EACEACEAC.

ג.

הסבירו מדוע EF∥ACEF\parallel ACEF∥AC.

ד.

מצאו את זוויות הטרפז EACFEACFEACF.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ABCDABCDABCD הוא מלבן. המקצוע SASASA מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע SCSCSC ומקיימת SE→=k⋅SC→\overrightarrow{SE}=k\cdot\overrightarrow{SC}SE=k⋅SC, כאשר 0<k≤10<k\le10<k≤1 (ראו סרטוט). נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, SA→=w‾\overrightarrow{SA}=\underline wSA=w​. נתון: ∣u‾∣=4|\underline u|=4∣u​∣=4, ∣v‾∣=3|\underline v|=3∣v​∣=3, ∣w‾∣=10|\underline w|=10∣w​∣=10.
ABCDSE

א.

הביעו את הווקטורים EB→\overrightarrow{EB}EB ו-ED→\overrightarrow{ED}ED באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-kkk.

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שעבורם EB→\overrightarrow{EB}EB מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}ED. עבור אחד מהם הניצבות נובעת ישירות מכך שהבסיס מלבן - איזה, ומדוע?

ג.

עבור k=0.5k=0.5k=0.5 (כלומר כאשר EEE היא אמצע המקצוע SCSCSC), קבעו אם הזווית BEDBEDBED חדה, ישרה או קהה. נמקו.

ד.

הציבו את הערך של kkk שמצאתם בסעיף ב שעבורו E≠CE\ne CE=C. נתון: D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), הצלע ADADAD מונחת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הצלע DCDCDC מונחת על החלק החיובי של ציר ה-yyy, שיעור ה-zzz של הנקודה SSS הוא חיובי.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

(2)

חשבו את שטח המשולש DEBDEBDEB.

שאלה 10 · וקטורים בקובייה: מלבן שקודקודיו באמצעי המקצועותשאלה מלאה · קלה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות EEE, FFF, GGG ו-HHH הן אמצעי המקצועות AA′AA'AA′, ABABAB, CC′CC'CC′ ו-D′C′D'C'D′C′ בהתאמה. נסמן: AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline vBC=v​, AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​.
ABCDA'B'C'D'EGFH

א.

(1)

הראו כי EF→=12u‾−12w‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u-\frac12\underline wEF=21​u​−21​w​.

(2)

הביעו את הווקטורים HG→\overrightarrow{HG}HG ו-EH→\overrightarrow{EH}EH באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ב.

הוכיחו כי המרובע EFGHEFGHEFGH הוא מקבילית.

ג.

חשבו את האורכים ∣EF→∣|\overrightarrow{EF}|∣EF∣ ו-∣EH→∣|\overrightarrow{EH}|∣EH∣.

ד.

הוכיחו כי EF→⊥EH→\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{EH}EF⊥EH. מה סוג המרובע EFGHEFGHEFGH?

ה.

חשבו את שטח המרובע EFGHEFGHEFGH.

עוד 58 שאלות על ניצבות בין שני וקטורים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=3$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ ,…
וקטורים בפירמידה: מנפח לאורך מקצוע ולזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=8$ . המקצוע $SD$ מאונך ל- $AD$ , והמקצוע $SB$ מאונך ל- $AB$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ , והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BD$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 3. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה: הנקודה על המקצוע הקרובה ביותר לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=2$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו 2. גובה המנסרה הוא $\sqrt2$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: הגובה שקובע את הזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס…
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $F$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AB$ ו- $D'C'$ בהתאמה. הנקודה $E$ מקיימת:…
וקטורים בפירמידה: איפה על הקטע נמצאת הנקודה שהווקטור אליה מאונך למישור (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה, $\angle BAC=90^\circ$ ו- $AB=AC=12$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה משולשת: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABC$ ו- $ABD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בתיבה: איפה על המקצוע נוצרת זווית ישרה (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע: אורך מקצוע ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABC$ (ראו סרטוט) הפאות $SAB$ ו- $SBC$ הן משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 4, ו- $\angle ASC=90^\circ$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: מיקום נקודה מתנאי ניצבות (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בפירמידה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 3. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=3$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ , נפח המנסרה הוא 12. הנקודה $F$ היא…
וקטורים בתיבה: נקודה משתנה על האלכסון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 6, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . המקצוע $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה,…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 3, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $AA'$ …
וקטורים בפירמידה עם מקצועות שווים: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש- $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}$ . המקצוע $AE$ הוא…
וקטורים בפירמידה שמקצוע SB מאונך לבסיסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SB$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SD$ (ראו סרטוט). נסמן:…
מנסרה ישרה: איפה על המקצוע הזווית ישרה ומה גובה המנסרה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=5$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ . גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה…
וקטורים בתיבה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה $A'B'C'D'$ , והנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $O$ היא מרכז הפאה העליונה $A'B'C'D'$ (נקודת המפגש של אלכסוני הפאה). נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
מנסרה ישרה עם גובה לא ידוע: נקודה על מקצוע שיוצרת ניצבות (שאלה מלאה · קשה)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר-זווית שבו $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=2$ ו- $AC=2\sqrt3$ . גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה $M$ …
וקטורים בפירמידה: ניצבות בבסיס ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
נקודה על מקצוע שעבורה זווית במנסרה ישרה (שאלה קצרה · קשה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=5$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ . גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה…
וקטורים בקובייה: גובה במשולש אלכסונים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 6. הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $B'D'$ של הפאה העליונה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן: גובה ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=6$ ו- $AD=4$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
אורך מקצוע שעבורו שני וקטורים בפירמידה מאונכים (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle DAB=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=4$ . הנקודה $M$ …
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle DAB=60^\circ$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
ניצבות בין אלכסון התיבה לאלכסון הבסיס (שאלה קצרה · קלה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=3$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ ,…
וקטורים בפירמידה גבוהה: ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac13\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ .
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. המקצוע $AS$ מאונך לבסיס, ואורכו $4\sqrt2$ . הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה נמוכה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $N$ נמצאת על $SD$ כך ש- $\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SD}$ . המקצוע $AS$ הוא…
וקטורים בפירמידה עם בסיס ישר-זווית לא שווה-שוקיים: ניצבות למישור ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BD}=\frac45\overrightarrow{BC}$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא מפגש האלכסונים בפאה $CDD'C'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $BB'$ ומקיימת…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (בסיס עם צלעות שונות) (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BS$ כך ש- $\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{BS}$ . הנקודה…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה משולשת ישרה $ABCA'B'C'$ (המקצועות הצדדיים מאונכים למישור הבסיס $ABC$ ). הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $BC$ , והנקודה $K$ היא…
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע צדדי, ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש- $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CS}$ . הנקודה…
וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $AB$ , כך ש- $AF=\frac13AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים במנסרה משולשת ישרה: גובה המנסרה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ). הנקודה $F$ נמצאת על…
וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ …
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $BB'$ , והנקודה $L$ היא אמצע הצלע $AD$ . נסמן:…
וקטורים במנסרה ישרה עם זווית קהה בבסיס: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $A'B'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ …
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע המקביל למישור הבסיס (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AD}=\underline w$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $AD$ כך…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AD}=\underline w$ . נתון:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $O$ היא מפגש האלכסונים של הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
ניצבות בין שני קטעים בתיבה (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה $A'B'C'D'$ , והנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן:…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בקובייה: טרפז שקודקודו במרכז הקובייה · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
נתונה קובייה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BB'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $AC'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ ,…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע (ראה ציור). כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $AD$ . נסמן:…
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $E$ ו- $G$ הן אמצעי המקצועות $AA'$ ו- $CC'$ בהתאמה. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AB}$ . הנקודה $H$ …
וקטורים בפירמידה משולשת: מכפלות סקלריות וניצבות למישור · בגרות 472 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABD$ ו- $ACD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BD$ ומחלקת אותו ביחס…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מעוין: טענות על מכפלות סקלריות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, $\angle BAD=60^\circ$ , נפח המנסרה הוא $8\sqrt3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה: ניצבות, מערכת צירים ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ (ראו סרטוט). נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 1
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה: מכפלות סקלריות, גובה ונפח · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AS}=\underline w$ .
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac23\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש- $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה. נתון:…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DP}=\frac13\vec{DD'}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בתיבה: ניצבות לאלכסון ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון $A'C'$ , כך שמתקיים…
וקטורים במנסרה ישרה: הוכחת ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ מקיימת $\overrightarrow{AP}=\frac34\vec{AA'}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע המקביל למישור הבסיס · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AD}=\underline w$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AB}=\underline u$ . הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $AD$ , הנקודה $N$ נמצאת על הפאה…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם הפירמידה המשולשת ABCD, שכל מקצועותיה שווים באורכם ( $a$ ). נסמן:…
ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה פירמידה DABC שבה המקצוע DA מאונך למישור ABC. N היא אמצע המקצוע BC. נסמן:…