מבחן לדוגמה: חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 4 יח"ל

נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות $E$, $F$, $G$ ו-$H$ הן אמצעי המקצועות $AA'$, $AB$, $CC'$ ו-$D'C'$ בהתאמה. נסמן: $\vec{AA'}=\underline w$, $\overrightarrow{BC}=\underline v$, $\overrightarrow{AB}=\underline u$.

נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$. $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=4$, $AD=2$, $AA'=3$, $\angle BAD=60^\circ$. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $DC$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$.

בטרפז $ABCD$ ($AB\parallel DC$) נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, ונתון $\overrightarrow{DC}=\frac12\vec{u}$. נתון $|\vec{u}|=4$, $|\vec{v}|=\sqrt{10}$, ואלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה.

בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבשרטוט נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, $\overrightarrow{AA'}=\vec{w}$. נתון: $|\vec{u}|=6$, $|\vec{v}|=8$, $|\vec{w}|=2$.

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$, והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DQ}=\frac23\vec{DD'}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$. נתון: $|\underline u|=4$, $|\underline v|=6$, $|\underline w|=3$, $\angle DAB=60^\circ$. ידוע כי $\underline u\cdot\underline v=12$, $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$, $\overrightarrow{BN}=\frac12\underline v+\underline w$ ו-$\overrightarrow{QN}=\underline u-\frac12\underline v+\frac13\underline w$.

נתונה פירמידה $SABC$ (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים $SA$, $SB$, $SC$ הוא 4. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=90^\circ$, $\angle BSC=60^\circ$. נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline u$, $\overrightarrow{SB}=\underline v$, $\overrightarrow{SC}=\underline w$. הנקודה $M$ נמצאת במישור $ABC$, ו-$SM$ מאונך למישור $ABC$.