שאלות פתוחות: חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית, לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מחשבים שטח של משולש שווה צלעות מתוך מכפלה סקלרית נתונה, שטח של טרפז שמוגדר בעזרת וקטורים, ושטחים של משולשים ומרובעים שנוצרים בתוך קובייה, תיבה, מנסרה ישרה שבסיסה מקבילית או מעוין ופירמידה. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. מורים יכולים לבחור מכאן שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

61 שאלותקלה: 9בינונית: 41קשה: 11

שאלה 1 · חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · קלה

במשולש שווה צלעות ABCABCABC נתון: AB→⋅AC→=18\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=18AB⋅AC=18.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 2 · חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

במנסרה הישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=4AB=4AB=4, AD=2AD=2AD=2, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘, AA′=3AA'=3AA′=3. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DCDCDC. נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v, AA′→=w→\vec{AA'}=\vec{w}AA′=w.
ABDCA'B'D'C'E

א.

הביעו את ED′→\vec{ED'}ED′ ואת EB→\overrightarrow{EB}EB באמצעות u→\vec{u}u, v→\vec{v}v ו-w→\vec{w}w, וחשבו את cos⁡∠D′EB\cos\angle D'EBcos∠D′EB.

ב.

חשבו את שטח המשולש D′EBD'EBD′EB.

שאלה 3 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=6AB=6AB=6, AD=4AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘, ונפח המנסרה הוא 72372\sqrt3723​.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע C′D′C'D'C′D′ ומקיימת C′E→=t⋅C′D′→\vec{C'E}=t\cdot\vec{C'D'}C′E=t⋅C′D′, כאשר 0≤t≤10\le t\le10≤t≤1.
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'E

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt את הווקטורים B′A→\vec{B'A}B′A ו-B′E→\vec{B'E}B′E.

ב.

מצאו את הערך של ttt שעבורו B′A→\vec{B'A}B′A מאונך ל-B′E→\vec{B'E}B′E.

ג.

חשבו את גובה המנסרה.

ד.

עבור הערך של ttt שמצאתם בסעיף ב, חשבו את שטח המשולש AB′EAB'EAB′E.

ה.

עבור t=12t=\frac12t=21​ (כלומר כאשר EEE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'C′D′), קבעו אם הזווית AB′EAB'EAB′E חדה, ישרה או קהה. נמקו.

שאלה 4 · וקטורים בקובייה: מלבן שקודקודיו באמצעי המקצועותשאלה מלאה · קלה

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות EEE, FFF, GGG ו-HHH הן אמצעי המקצועות AA′AA'AA′, ABABAB, CC′CC'CC′ ו-D′C′D'C'D′C′ בהתאמה. נסמן: AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline vBC=v​, AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​.
ABCDA'B'C'D'EGFH

א.

(1)

הראו כי EF→=12u‾−12w‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u-\frac12\underline wEF=21​u​−21​w​.

(2)

הביעו את הווקטורים HG→\overrightarrow{HG}HG ו-EH→\overrightarrow{EH}EH באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ב.

הוכיחו כי המרובע EFGHEFGHEFGH הוא מקבילית.

ג.

חשבו את האורכים ∣EF→∣|\overrightarrow{EF}|∣EF∣ ו-∣EH→∣|\overrightarrow{EH}|∣EH∣.

ד.

הוכיחו כי EF→⊥EH→\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{EH}EF⊥EH. מה סוג המרובע EFGHEFGHEFGH?

ה.

חשבו את שטח המרובע EFGHEFGHEFGH.

שאלה 5 · חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC) נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v, ונתון DC→=12u→\overrightarrow{DC}=\frac12\vec{u}DC=21​u. נתון ∣u→∣=4|\vec{u}|=4∣u∣=4, ∣v→∣=10|\vec{v}|=\sqrt{10}∣v∣=10​, ואלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה.

א.

חשבו את u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}u⋅v.

ב.

חשבו את שטח הטרפז.

שאלה 6 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב הגובה ונפחשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCSABCSABC (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים SASASA, SBSBSB, SCSCSC הוא 4. נתון: ∠ASB=∠ASC=90∘\angle ASB=\angle ASC=90^\circ∠ASB=∠ASC=90∘, ∠BSC=60∘\angle BSC=60^\circ∠BSC=60∘. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline uSA=u​, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline vSB=v​, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline wSC=w​. הנקודה MMM נמצאת במישור ABCABCABC, ו-SMSMSM מאונך למישור ABCABCABC.
uvwABCS

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​.

ב.

הביעו את SM→\overrightarrow{SM}SM באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ג.

חשבו את גובה הפירמידה לבסיס ABCABCABC.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה SABCSABCSABC.

שאלה 7 · וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות ושטח משולששאלה מלאה · קלה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘. גובה המנסרה הוא AA′=3AA'=3AA′=3.
הנקודה EEE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'C′D′.
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'E

א.

(1)

הראו כי B′E→=v‾−12u‾\vec{B'E}=\underline v-\frac12\underline uB′E=v​−21​u​.

(2)

הביעו את B′A→\vec{B'A}B′A באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ב.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​ ו-v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​.

ג.

הוכיחו כי B′A→\vec{B'A}B′A מאונך ל-B′E→\vec{B'E}B′E.

ד.

חשבו את האורכים ∣B′E→∣|\vec{B'E}|∣B′E∣ ו-∣B′A→∣|\vec{B'A}|∣B′A∣.

ה.

חשבו את שטח המשולש AB′EAB'EAB′E.

שאלה 8 · חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבשרטוט נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v, AA′→=w→\overrightarrow{AA'}=\vec{w}AA′=w. נתון: ∣u→∣=6|\vec{u}|=6∣u∣=6, ∣v→∣=8|\vec{v}|=8∣v∣=8, ∣w→∣=2|\vec{w}|=2∣w∣=2.
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו את גודל הזווית BA′DBA'DBA′D.

ב.

חשבו את שטח המשולש A′BDA'BDA′BD.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב האנך מקודקוד למישורשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת ABCDABCDABCD המקצועות ADADAD, BDBDBD ו-CDCDCD מאונכים זה לזה, ונתון: DA=DB=2DA=DB=2DA=DB=2, DC=1DC=1DC=1 (ראו סרטוט). הנקודה EEE נמצאת על המישור ABCABCABC, ומתקיים BE→=s⋅BA→+t⋅BC→\overrightarrow{BE}=s\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}BE=s⋅BA+t⋅BC (sss, ttt מספרים). נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline uDA=u​, DB→=v‾\overrightarrow{DB}=\underline vDB=v​, DC→=w‾\overrightarrow{DC}=\underline wDC=w​.
uvwDABCE

א.

הביעו את DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​, sss ו-ttt.

ב.

נתון כי DE→\overrightarrow{DE}DE מאונך למישור ABCABCABC.

מצאו את sss ואת ttt.

ג.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד.

מצאו את המרחק של הקודקוד DDD מהמישור ABCABCABC.

שאלה 10 · וקטורים בפירמידה עם מקצועות שווים: ניצבות ושטחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCEABCEABCE. הנקודה DDD היא אמצע המקצוע BCBCBC. הנקודה MMM נמצאת על EDEDED כך ש-EM→=23ED→\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}EM=32​ED. המקצוע AEAEAE הוא גובה בפירמידה, ו-∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AE→=w‾\overrightarrow{AE}=\underline{w}AE=w​.
ABCEDM

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​ את הווקטורים BC→\overrightarrow{BC}BC ו-ED→\overrightarrow{ED}ED.

ב.

הראו כי AM→=13u‾+13v‾+13w‾\overrightarrow{AM}=\frac13\underline{u}+\frac13\underline{v}+\frac13\underline{w}AM=31​u​+31​v​+31​w​.

ג.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=∣w‾∣=9|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=9∣u​∣=∣v​∣=∣w​∣=9.

(1)

חשבו את AM→⋅ED→\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{ED}AM⋅ED ואת AM→⋅BC→\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}AM⋅BC.

(2)

ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור מאונך למישור. היעזרו בכך והסבירו מדוע AM→\overrightarrow{AM}AM מאונך למישור BEC.

ד.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0). הקודקודים B, C ו-E נמצאים על החלק החיובי של צירי ה-x, ה-y וה-z (בהתאמה).

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות B, C, E, D ו-M.

(2)

הסבירו מדוע הזווית ∠AMD\angle AMD∠AMD ישרה, וחשבו את שטח המשולש AMD.

עוד 40 שאלות על חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6$ , $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=10$ ,…
וקטורים בפירמידה: הנקודה על המקצוע הקרובה ביותר לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=2$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
וקטורים בתיבה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה $A'B'C'D'$ , והנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן:…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
במקבילית $ABCD$ נתון: $AB=4$ , $AD=2$ , $\angle BAD=60^\circ$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ . הנקודה $E$ …
וקטורים בפירמידה: איפה על הקטע נמצאת הנקודה שהווקטור אליה מאונך למישור (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה, $\angle BAC=90^\circ$ ו- $AB=AC=12$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה…
וקטורים בפירמידה: ניצבות בבסיס ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 3. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בתיבה: איפה על המקצוע נוצרת זווית ישרה (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
וקטורים בקובייה: גובה במשולש אלכסונים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 6. הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $B'D'$ של הפאה העליונה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 2. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה: מיקום נקודה מתנאי ניצבות (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle DAB=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=4$ . הנקודה $M$ …
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $F$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AB$ ו- $D'C'$ בהתאמה. הנקודה $E$ מקיימת:…
וקטורים בתיבה: נקודה משתנה על האלכסון (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון…
וקטורים במנסרה ישרה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=4$ , $AD=2$ , $AA'=3$ , $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $DC$ .…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך המקצוע שלה 6 (ראו ציור). הנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $A'B'$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $BC$ ומקיימת…
מנסרה ישרה: איפה על המקצוע הזווית ישרה ומה גובה המנסרה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=5$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ . גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ , נפח המנסרה הוא 12. הנקודה $F$ היא…
שטח משולש מתוך שלוש מכפלות סקלריות בקודקודיו (שאלה קצרה · קשה)
במשולש $ABC$ נתון: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6$ , $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=10$ ,…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית שבה $AB=2$ , $AD=4$ , $\angle BAD=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=2$ . הנקודה $K$ היא אמצע…
ניצבות, אורך ושטח משולש ישר-זווית במנסרה שבסיסה מקבילית (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ …
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=60^\circ$ ,…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה, ונתון: $DA=3$ , $DB=1$ , $DC=2$ . נסמן: $\overrightarrow{DA}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה נמוכה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $N$ נמצאת על $SD$ כך ש- $\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SD}$ . המקצוע $AS$ הוא…
וקטורים בפירמידה עם בסיס ישר-זווית לא שווה-שוקיים: ניצבות למישור ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BD}=\frac45\overrightarrow{BC}$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (בסיס עם צלעות שונות) (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BS$ כך ש- $\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{BS}$ . הנקודה…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע צדדי, ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש- $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CS}$ . הנקודה…
וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $AB$ , כך ש- $AF=\frac13AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 6. הנקודות $M$ , $N$ ו- $K$ הן אמצעי המקצועות $AB$ , $AA'$ ו- $CC'$ , בהתאמה. נסמן:…
וקטורים במנסרה משולשת ישרה: גובה המנסרה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ). הנקודה $F$ נמצאת על…
וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ …
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים במנסרה ישרה עם זווית קהה בבסיס: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $A'B'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ …
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית עם זווית קהה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=3$ , $AD=2$ , $AA'=3$ , $\angle BAD=120^\circ$ . הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $AB$ …
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
$ABCD$ היא פירמידה משולשת שכל מקצועותיה באורך 2 (כל פאותיה משולשים שווי-צלעות). הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $CD$ . נסמן:…
שטח טרפז שאלכסוניו מאונכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ , ונתון $\overrightarrow{DC}=\frac12\vec{u}$ . נתון $|\vec{u}|=4$ ,…
אורכים, זווית ושטח של משולש בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים (שאלת ביניים · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). נסמן: $\overrightarrow{DA}=\underline u$ , $\overrightarrow{DB}=\underline v$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע (ראה ציור). כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $AD$ . נסמן:…
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $E$ ו- $G$ הן אמצעי המקצועות $AA'$ ו- $CC'$ בהתאמה. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AB}$ . הנקודה $H$ …
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מעוין: טענות על מכפלות סקלריות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, $\angle BAD=60^\circ$ , נפח המנסרה הוא $8\sqrt3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: מכפלות סקלריות, ניצבות למישור ונפח · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3. נתון: $\angle ASB=\angle BSC=\angle ASC=30^\circ$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות למישור · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
וקטורים בפירמידה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש- $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה. נתון:…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DP}=\frac13\vec{DD'}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בתיבה: ניצבות לאלכסון ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון $A'C'$ , כך שמתקיים…
וקטורים במנסרה ישרה: הוכחת ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ מקיימת $\overrightarrow{AP}=\frac34\vec{AA'}$ . נסמן:…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: אורך, זווית ושטח משולש · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=1$ , $AA'=4$ , $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DC$ ומחלקת אותו ביחס…