מבחן לדוגמה: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון - כיתה י"ב 4 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת נקודת החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{1-x}{e^x}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ ואת סוגה.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

ידוע כי $f(x)\to0$ כאשר $x\to\infty$, ו-$f(x)\to-\infty$ כאשר $x\to-\infty$. סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף $g(x)$ באותה מערכת צירים, וכתבו את שיעורי נקודת הקיצון של $g(x)$ ואת סוגה.

נסמן ב-$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר $x=2$.

הביעו באמצעות $S$ את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $f(x)$ ושל $g(x)$ ועל ידי הישר $x=2$. נמקו.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים.

הראו כי $f'(x)=(-2x^2+11x-12)\cdot e^{2-x}$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. היעזרו בכך ש-$f(x)\to0$ כאשר $x\to\infty$.

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. קבעו איזה מהם, ונמקו.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$. היעזרו בכך ש-$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה בתחום, וקבעו את סוגה.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום הנתון.

מצאו לאחר כמה שבועות מספר הפרטים באוכלוסייה הוא הגדול ביותר. הראו כי זו אכן נקודת מקסימום.

מהו מספר הפרטים המרבי באוכלוסייה?

הראו כי $f'(x)=\frac{-2e^x\left(e^x-2\right)}{\left(e^{2x}-4e^x\right)^2}$.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

מצאו באמצעות $a$ את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגה.

מצאו את $f(x)$ באמצעות $a$.

לאילו ערכים של $a$ הפונקציה $f(x)$ חיובית לכל $x$?

נתון: $a=\ln4$.

דרך נקודת הקיצון של $f(x)$ העבירו אנך לציר ה-$x$. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף $f(x)$, על ידי האנך ועל ידי הצירים.