שאלות פתוחות: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון בפונקציות מעריכיות, לכיתה י"ב (4 יחידות). יש חקירה של פולינום כפול e בחזקת x או בחזקת מינוס x, מציאת פרמטר לפי נקודת קיצון נתונה, בעיית אוכלוסייה שבה שואלים מתי מספר הפרטים הגדול ביותר, ובעיית קיצון של אורך קטע בין הגרפים של e בחזקת x ו-e בחזקת מינוס x. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. מורים יכולים להרכיב מכאן מבחן, בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

127 שאלותקלה: 27בינונית: 75קשה: 25

שאלה 1 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · קלה

לכל t>0t>0t>0 מעבירים את הישר x=tx=tx=t. הישר חותך את גרף הפונקציה y=exy=e^{x}y=ex בנקודה AAA, ואת גרף הפונקציה y=e−xy=e^{-x}y=e−x בנקודה BBB.

א.

הביעו באמצעות ttt את אורך הקטע ABABAB.

ב.

האם יש ערך של ttt שעבורו אורך הקטע ABABAB מינימלי? נמקו.

שאלה 2 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · בינונית

מספר הפרטים באוכלוסייה מסוימת לאחר ttt שבועות מתואר על ידי הפונקציה N(t)=1000(e−0.1t−e−0.2t)N(t)=1000\left(e^{-0.1t}-e^{-0.2t}\right)N(t)=1000(e−0.1t−e−0.2t), עבור t≥0t\ge0t≥0.

א.

מצאו לאחר כמה שבועות מספר הפרטים באוכלוסייה הוא הגדול ביותר. הראו כי זו אכן נקודת מקסימום.

ב.

מהו מספר הפרטים המרבי באוכלוסייה?

שאלה 3 · הפונקציה (x+a)eˣ: פרמטר, השקה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)exf(x)=(x+a)e^xf(x)=(x+a)ex, כאשר aaa פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. נתון כי גרף g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx בנקודה שבה x=2x=2x=2. מצאו את aaa ואת kkk.

ג.

הציבו a=−3a=-3a=−3.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לכל ערך של mmm. נמקו.

שאלה 4 · חקירת הפונקציה (x−4)eˣשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)exf(x)=(x-4)e^xf(x)=(x−4)ex.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=(x−3)exf'(x)=(x-3)e^xf′(x)=(x−3)ex, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את התחום שבו f(x)f(x)f(x) חיובית, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. נתון: כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, f(x)→0f(x)\to0f(x)→0.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. מצאו את kkk שעבורו גרף g(x)g(x)g(x) משיק לציר ה-xxx. היעזרו בנקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x).

שאלה 5 · מציאת פרמטר על סמך נתוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x2+ax+1)e−xf(x)=(x^2+ax+1)e^{-x}f(x)=(x2+ax+1)e−x, aaa הוא פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=4x=4x=4.

א.

מצאו את aaa.

ב.

הציבו a=−3a=-3a=−3. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח נתון ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−aexf(x)=e^{2x}-ae^xf(x)=e2x−aex, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה, ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ב.

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ובין הצירים שווה ל-2. מצאו את aaa.

ג.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה וקבעו מאיזה צד הגרף מתקרב אליה.

ד.

לאילו ערכים של mmm יש למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m בדיוק שני פתרונות?

שאלה 7 · פונקציה מעריכית: חיתוכים, קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3f(x)=e2x−4ex+3.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (היעזרו בהצבה t=ext=e^xt=ex.)

ב.

הראו כי f′(x)=2ex(ex−2)f'(x)=2e^x(e^x-2)f′(x)=2ex(ex−2), ומצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה ואת סוגה.

ג.

מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ובין ציר ה-xxx.

שאלה 8 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=ex−xg(x)=e^x-xg(x)=ex−x.

א.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

ב.

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה פתרונות יש למשוואה ex=x+ke^x=x+kex=x+k.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית עם פרמטר וטרנספורמציה לא ידועהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(a−2x)⋅e2xf(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}f(x)=(a−2x)⋅e2x, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתון כי שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) הוא 1.51.51.5.

מצאו את aaa, ואת ערך ה-yyy של נקודת הקיצון.

ג.

הציבו a=4a=4a=4. ידוע כי כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, ערכי f(x)f(x)f(x) שואפים ל-000. נתונה הפונקציה g(x)=−2f(x)+qg(x)=-2f(x)+qg(x)=−2f(x)+q, כאשר qqq פרמטר. לגרף g(x)g(x)g(x) אסימפטוטה אופקית y=3y=3y=3.

מצאו את qqq, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגה.

ד.

לאילו ערכים של mmm למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m יש בדיוק שני פתרונות? נמקו.

שאלה 10 · חקירת פונקציה מעריכית ושיקוף שלהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(2−x)⋅exf(x)=(2-x)\cdot e^{x}f(x)=(2−x)⋅ex.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x), ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף שלה עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=(1−x)⋅exf'(x)=(1-x)\cdot e^xf′(x)=(1−x)⋅ex.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

ידוע כי כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞, ערכי f(x)f(x)f(x) שואפים ל-0.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).
לפניכם הגרפים I-III (לסעיף ד(2)):
גרף I
גרף II
גרף III

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

(2)

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.

עוד 90 שאלות על תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-1)e^x$ בתחום $-2\le x\le2$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה עם פרמטר: מתי היא חיובית (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{a-x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר. גרף הפונקציה $f(x)$ עובר בנקודה $(0,2)$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: פונקציה קדומה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{4-x}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}-ax$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת $\frac{x ^{2}}{e ^{x /2}}$ : מספר פתרונות ופרמטר מתוך שטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{\frac x2}}$ .
חקירת $\frac{x}{e ^{x}}$ , שיקוף ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac x{e^x}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+k)e^{x}$ , כאשר $k$ הוא פרמטר.
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-b$ , כאשר $b>0.5$ פרמטר. לפניכם סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף $f'(x)$ חותך את ציר…
פונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}$ , המוגדרת בתחום $x\neq-1$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-4e^{x}+2x$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר חיתוכים, בעיה הפוכה ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{e^x}+e^x+c$ , $c$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית: חיתוכים, קיצון ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{e^x}+e^x-5$ .
חקירת הפונקציה (x+a)e⁻ˣ והזזה אנכית עד השקה לציר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=2$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-a)^2$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $h(x)=\frac{e^x}{9}+\frac{4}{e^x}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-5$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח לא חסום (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x^2+ax+27)\cdot e^{5-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x=6$ .
חקירת פונקציה מעריכית פשוטה ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-2)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(5-2x)\cdot e^{2x}$ .
פונקציה מעריכית במנה עם פרמטר: מספר פתרונות ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{x-k}$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x^2-7x+5)\cdot e^{2-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . גרף I: גרף II: גרף III:
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x-1)\cdot e^{-x}$ .
מנה מעריכית עם פרמטר: מיקום הקיצונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-k}$ , כאשר $k>0$ פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית במנה ותחומי סימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{x-2}$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=2e^{2x}-2e^{2-2x}$ .
פונקציה ונגזרתה עם פרמטר: מי מעל מי ושטחים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)\cdot e^x$ , כאשר $a>1$ פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף $f(x)$ , והאחר הוא גרף…
חקירת מנה מעריכית עם אסימפטוטה אחת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x-1}$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{2 x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{2x}}$ .
פונקציה מעריכית שהיא מנה: מספר חיתוכים לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{2x}-4}$ .
פונקציה מעריכית ונגזרתה: זיהוי ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)\cdot e^x$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(x-1)^2}{e^x}$ .
מנה מעריכית: קיצון כתלות בפרמטר ומיון חיתוכים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-1)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה מעריכית שהיא מנה: קיצון ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-5}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq3$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר…
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח בין הנגזרת לשיקופה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)^2\cdot e^{x-3}$ , ו- $a$ הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II עבור ערך מסוים של $a$ : אחד מהם הוא הגרף של…
חקירת מנה מעריכית והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(x-2)}}{x^2}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{-x}}{x+3}$ , המוגדרת בתחום $x\neq-3$ .
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ : אסימפטוטה יחידה ומספר אפסים לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2+bx+9}$ , כאשר $b>0$ הוא פרמטר. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד.
פונקציה מעריכית: נגזרת, קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)^2\cdot e^{x}$ . בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מהם הוא הגרף של $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת…
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{9}{e^x}+\frac{e^x}{4}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-a}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ בלי פרמטר: חקירה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{(x-1)^2}$ .
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-4)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון, סקיצה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)\cdot e^{-2x}$ המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת שלה: שטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^{2x}-4e^x$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{3x}-9e^{2x}+24e^x$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>2$ .
פונקציה מעריכית: חקירה, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-8)\cdot e^{-x+1}$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-13x+20)\cdot e^{4-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
פונקציה מעריכית עם פרמטר: הפרמטר מערך המינימום ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-6x+9)\cdot e^{x}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{e^{ax^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת x וקיצון של ערך מוחלט (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-3)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x-a}}{x-4}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר: קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-ke^x}$ , כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת פונקציה מעריכית: מהנגזרת לגרף ולשטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x^2}{e^{x^2}}$ , המוגדרת לכל $x$ . לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . בסרטוט…
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2-x}}{x-1}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח, מספר פתרונות ושטח בין גרף לישר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}+a\cdot e^{-x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פונקציית מנה מעריכית: תחום, קיצון וסימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-4e^x}$ .
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-3}$ .
שתי נקודות קיצון בעזרת הצבה $t = e^{x}$ (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-4)^2$ , המוגדרת לכל $x$ . נתון כי מתקיים: $f(x)=e^{3x}-8e^{2x}+16e^x$ .
פונקציה מעריכית: קיצון, סקיצה ושטח עם קווים נתונים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}+9e^{-x}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-8}$ .
נגזרת, נקודת קיצון ותחומי עלייה וירידה של $\frac{1}{e ^{2 x} - 4 e ^{x}}$ (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{e^{2x}-4e^x}$ , המוגדרת לכל $x\neq\ln4$ .
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . כל אחד מן הגרפים חותך את…
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^x-2}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^x-6}$ , המוגדרת לכל $x\ne\ln6$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-2)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{4x-1}}{x^2}$ .
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-3)\cdot e^{x}$ .
פונקציית מנה עם $e^{x}$ : פרמטר מאסימפטוטה, חקירה ומספר אפסים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-6x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=3$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{-x}}{(x-1)^2}$ .
פונקציית מנה עם $e^{0.5 x}$ ואסימפטוטות: פרמטר, חקירה ומספר אפסים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{0.5x}}{x^2+ax}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=3$ .
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני…
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-15)\cdot e^{-x+3}$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x+1)\cdot e^{-x}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת מכפלה של שני גורמים מעריכיים, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-e^{x})\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת מינוס x וגרף הערך המוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)\cdot e^{-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=4$ . גרף I:…
חקירת מכפלת טרינום ב- $e^{0.5 x}$ , פרמטר מקיצון וגרף הערך המוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-x-a)\cdot e^{0.5x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=-4$ .
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים,…
חקירת פונקציה מעריכית זוגית שכולה מעל ציר ה-x: גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים,…
חקירת פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-4e^x-5}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{e^{2x}-6e^x+10}$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית: קיצון, סקיצה ופרמטר מתוך שטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}+16e^{-x}-3$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}+54e^{-x}$ .
נקודת קיצון של מכפלת פולינום ב- $e^{2 x}$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(5-2x)\cdot e^{2x}$ .
תחום הגדרה, נקודת קיצון וערך גדול וקטן ביותר בקטע של מנה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^x-2}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת הפונקציה (x+a)eˣ והזזה אנכית עד השקה לציר · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^x$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-3$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתונה הפונקציה: $f(x)=(7-3x)\cdot e^{3x}$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{2-x}$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים · בגרות 472 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-2$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{e^x}+\frac{e^x}{2}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-6)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-15x+27)\cdot e^{5-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן · בגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{a+x}}{x-3}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 3
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-6}$ .
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . כל אחד מן הגרפים חותך את ציר ה- $x$ בנקודה אחת…
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף · בגרות 472 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-3}$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-1)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציית מנה עם $e^{2 x}$ : פרמטר מאסימפטוטה, חקירה ומספר אפסים · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-4x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא $x=2$ .
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 4
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה- $x$ שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{16}{e}$ .
חקירת מכפלת פולינום ב-e בחזקת x, פרמטר מקיצון וגרף הערך המוחלט · בגרות 472 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(3x^2-a)\cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ . גרף I: גרף II: גרף III: גרף…
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח מתחתיו · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 4
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים…
חקירת פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-10e^x}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.
פונקציה מעריכית: קיצון, סקיצה ופרמטר מתוך שטח · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}+e^{4-2x}+2$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $k(x)=(x-3)e^x$ ו- $m(x)=4-e^{-x}$ , המוגדרות לכל $x$ .
חקירת פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=\frac{x^2-3}{e^x}$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x+\frac{1}{e^x-2}$ .
פונקציה מעריכית ריבועית: קיצון, שטח וערך מוחלט (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-2)^2-9$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=(1-x)e^x+1$ ו- $g(x)=\frac{x}{e^x+1}$ , המוגדרות לכל $x$ .