מבחן לדוגמה: אינטגרל מסוים של פונקציה מעריכית - כיתה י"ב 4 יח"ל

$\int_{0}^{1}\left(e^{2x}+2x\right)dx$

$\int_{1}^{2}3e^{x-1}\,dx$

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה.

נתון כי הפונקציה $f(x)$ חיובית לכל $x$.

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה $f(x)$.

הראו כי $f(x)=e^x+e^{4-x}+c$, כאשר $c$ קבוע.

נתון: השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$, על ידי ציר ה-$y$ ועל ידי הישר $x=2$ הוא $e^4+3$.

מצאו את $c$.

מצאו את ערך ה-$y$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שיעורי הנקודה $A$.

חשבו את סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי הישר $y=e$, על ידי ציר ה-$y$ ועל ידי הישר $x=2$.

הביעו את $g(t)$ באמצעות $t$ (בלי סימן אינטגרל).

מצאו את הערך הקטן ביותר של $g(t)$.

הביעו באמצעות $b$ את $\int_{-b}^{b}f(x)\,dx$.

מצאו את הערך של $b$ שעבורו $\int_{-b}^{b}f(x)\,dx=\frac92$.

עבור הערך של $b$ שמצאתם, חשבו את $\int_{0}^{b}f(x)\,dx$. היעזרו בתוצאה של סעיף ב ומצאו את $\int_{-b}^{0}f(x)\,dx$. איזה מבין שני האינטגרלים גדול יותר?

מצאו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה.

הראו כי לכל ערך של $a$, נקודת הקיצון של $f(x)$ נמצאת על גרף הפונקציה $h(x)=e^{2x}$.

נתונה הפונקציה $g(x)=2e^{2x}$. הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף $f(x)$ עם גרף $g(x)$. דרך A העבירו אנך לציר ה-$x$.

הביעו באמצעות $a$ את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, על ידי האנך, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי ציר ה-$y$.

מצאו את הערך של $a$ שעבורו השטח שבסעיף ג שווה ל-2, ומצאו עבורו את שיעורי הנקודה A.