מבחן לדוגמה: תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופית - כיתה י"ב 4 יח"ל

מצאו את ערכי $q$ שעבורם סכום כל איברי הסדרה גדול מ-$10$.

הוכיחו כי $b_n$ היא סדרה הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את איברה הראשון ואת מנתה.

הראו כי סכום כל איברי הסדרה $b_n$ אינו תלוי ב-$q$, ומצאו אותו.

נתון גם כי $a_1<0$.

מצאו את $q$ ואת $a_1$.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין-סופית B באופן הזה: $\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots$.

הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

הסבירו מדוע לסדרה B יש סכום אין-סופי, ומצאו אותו. מצאו גם את הסכום של כל איברי B החל מהאיבר השלישי ($\frac1{a_3}+\frac1{a_4}+\frac1{a_5}+\ldots$).

מצאו את הפרש הסדרה ואת $a_1$.

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שאיבריה הם: $b_1,b_2,b_3,\dots$. נתון: $b_1=a_{40}$, $3\cdot b_5=a_1$.

מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה B אינה עולה ואינה יורדת.

מצאו את סכום כל האיברים השליליים בסדרה B.

הביעו את $q$ באמצעות $r$.

הסבירו מדוע שתי הסדרות I ו-II מתכנסות.

נתון כי סכום סדרה II שווה למחצית מסכום סדרה I.

חשבו את $q$.

מה היה המרחק של מיכל מביתה כשהסתובבה?

בתוך כמה דקות (במספר שלם של דקות) תגיע מיכל הביתה?

מיכל רוצה להגיע הביתה בתוך 12 דקות הליכה לכל היותר. בדקה הראשונה של ההליכה היא עוברת שוב 60 מטר, ובכל דקה נוספת היא מוסיפה מרחק קבוע. מהי התוספת הקטנה ביותר, במספר שלם של מטרים, שתאפשר לה זאת?

נניח שמיכל לא הייתה מסתובבת אלא ממשיכה לרוץ מהבית בלי הגבלת זמן, באותו כלל (כל דקה 0.96 מהדקה הקודמת). האם הייתה מגיעה פעם למרחק 4 ק"מ מביתה? נמקו.