שאלות פתוחות: תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופית - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופית, לכיתה י"ב (4 יחידות). התלמידים קובעים לאילו ערכי x טור כמו 1 ועוד 2x חלקי x בריבוע ועוד 1 ועוד הלאה מתכנס ומה סכומו, בודקים התכנסות של סדרה שהמנה שלה x בריבוע פחות 3, ומחשבים כמה תעבור רצה שמרחקה בכל דקה קטן פי 0.96. יש גם סדרת הפרשים של סדרה מתכנסת. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

33 שאלותקלה: 11בינונית: 16קשה: 6

שאלה 1 · תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופיתשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת שהאיבר הראשון בה הוא a1=5a_1=5a1​=5 ומנתה qqq (q≠0q\neq0q=0).

מצאו את ערכי qqq שעבורם סכום כל איברי הסדרה גדול מ-101010.

שאלה 2 · תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_nan​, שאיברה הראשון הוא a1=5a_1=5a1​=5 ומנתה היא qqq, כאשר 0<∣q∣<10<|q|<10<∣q∣<1.
מגדירים סדרה חדשה: bn=an−an+1b_n=a_n-a_{n+1}bn​=an​−an+1​.

א.

הוכיחו כי bnb_nbn​ היא סדרה הנדסית, והביעו באמצעות qqq את איברה הראשון ואת מנתה.

ב.

הראו כי סכום כל איברי הסדרה bnb_nbn​ אינו תלוי ב-qqq, ומצאו אותו.

שאלה 3 · תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופיתשאלה קצרה · קשה

נתון הטור ההנדסי האינסופי 1+2xx2+1+(2xx2+1)2+…1+\frac{2x}{x^2+1}+\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2+\dots1+x2+12x​+(x2+12x​)2+…, כאשר x≠0x\neq0x=0.

א.

מצאו את ערכי xxx שעבורם לטור יש סכום סופי, והביעו את הסכום באמצעות xxx.

ב.

מצאו את ערכי xxx שעבורם סכום הטור הוא 555.

שאלה 4 · סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום כל האיברים וסכום תת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית A, ובה 40 איברים: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,…. נתון: a4=14a_4=14a4​=14, a10=32a_{10}=32a10​=32.

א.

מצאו את הפרש הסדרה ואת a1a_1a1​.

ב.

מצאו את האיבר האחרון בסדרה A.

ג.

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dotsb1​,b2​,b3​,…. נתון: b1=a6b_1=a_6b1​=a6​, b3=a1b_3=a_1b3​=a1​.

מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

ד.

נתון כי המנה של הסדרה B שלילית.

(1)

מצאו את סכום כל האיברים בסדרה B.

(2)

האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B (b2,b4,b6,…b_2,b_4,b_6,\dotsb2​,b4​,b6​,…) יוצרים סדרה הנדסית. מצאו את האיבר הראשון ואת המנה של סדרה זו, וחשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B.

שאלה 5 · תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת שאיברה הראשון הוא a1=6a_1=6a1​=6 ומנתה qqq, כאשר q≠0q\neq0q=0.

א.

הביעו באמצעות qqq את סכום הסדרה SSS, ורשמו את התחום של qqq.

ב.

מצאו את כל הערכים האפשריים של SSS.

שאלה 6 · סדרה חשבונית עם הפרש לא ידוע וסדרה הנדסית: הפרש בין סכומי שתי תת-סדרותשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dotsa1​,a2​,a3​,…, והפרשה d≠0d\ne0d=0. נתון: a4+a5=a10a_4+a_5=a_{10}a4​+a5​=a10​.

א.

הביעו באמצעות ddd את האיבר הכללי ana_nan​ של הסדרה A.

ב.

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שאיבריה הם: b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dotsb1​,b2​,b3​,…. נתון: b1=a8b_1=a_8b1​=a8​, b3=a3b_3=a_3b3​=a3​.

מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

ג.

נתון כי הסדרה B אינה עולה ואינה יורדת. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה B גדול ב-54 מסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B.

מצאו את ddd ואת a1a_1a1​.

שאלה 7 · תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית אינסופית שאיבריה הם: (x2−3), (x2−3)2, (x2−3)3, …(x^2-3),\ (x^2-3)^2,\ (x^2-3)^3,\ \dots(x2−3), (x2−3)2, (x2−3)3, …

א.

מצאו את ערכי xxx שעבורם הסדרה מתכנסת.

ב.

מצאו את ערכי xxx שעבורם סכום הסדרה האינסופית הוא 1.

שאלה 8 · סדרות בתנועה: כמה זמן לחזור ואיזו תוספת צריךשאלה מלאה · קשה

מיכל יוצאת מביתה לריצה. בדקה הראשונה היא עוברת 150 מטר, ובכל דקה נוספת היא עוברת מרחק קטן פי 0.96 מהמרחק שעברה בדקה הקודמת (כלומר המרחק בכל דקה הוא 0.96 מהמרחק בדקה הקודמת).
אחרי 15 דקות מיכל מסתובבת וחוזרת הביתה באותה דרך בהליכה: בדקה הראשונה היא עוברת 60 מטר, ובכל דקה נוספת 4 מטר יותר מבדקה הקודמת.

א.

מה היה המרחק של מיכל מביתה כשהסתובבה?

ב.

בתוך כמה דקות (במספר שלם של דקות) תגיע מיכל הביתה?

ג.

מיכל רוצה להגיע הביתה בתוך 12 דקות הליכה לכל היותר. בדקה הראשונה של ההליכה היא עוברת שוב 60 מטר, ובכל דקה נוספת היא מוסיפה מרחק קבוע. מהי התוספת הקטנה ביותר, במספר שלם של מטרים, שתאפשר לה זאת?

ד.

נניח שמיכל לא הייתה מסתובבת אלא ממשיכה לרוץ מהבית בלי הגבלת זמן, באותו כלל (כל דקה 0.96 מהדקה הקודמת). האם הייתה מגיעה פעם למרחק 4 ק"מ מביתה? נמקו.

שאלה 9 · תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית x, x(x−1), x(x−1)2, …x,\ x(x-1),\ x(x-1)^2,\ \dotsx, x(x−1), x(x−1)2, …, כאשר x≠0x\neq0x=0 ו-x≠1x\neq1x=1.

א.

מצאו את ערכי xxx שעבורם לסדרה יש סכום סופי, והביעו את הסכום באמצעות xxx.

ב.

מצאו את ערכי xxx שעבורם סכום הסדרה גדול מ-333.

שאלה 10 · טור שמנתו 2x/(x²+1): מתי יש סכום ומהושאלה קצרה · קשה

נתון הטור ההנדסי האינסופי 1+2xx2+1+(2xx2+1)2+…1+\frac{2x}{x^2+1}+\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2+\dots1+x2+12x​+(x2+12x​)2+…, כאשר x≠0x\neq0x=0.

מצאו את ערכי xxx שעבורם לטור יש סכום סופי, והביעו את הסכום באמצעות xxx.

עוד 6 שאלות על תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום האיברים במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A, ובה 31 איברים: $a_1,a_2,a_3,\dots$ . נתון: $a_3+a_5=a_9$ . האיבר האחרון בסדרה A הוא 128.
הכנסת איבר בין איברי סדרה: מנה, התכנסות ויחס הסכומים (שאלת ביניים · קשה)
סדרה I היא סדרה הנדסית אין-סופית שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא: $4\cdot r^2$ . נתון: $0<r<\frac12$ . בין כל שני איברים בסדרה I…
תנאי ההתכנסות וסכום סדרה הנדסית אינסופית (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית אין-סופית $b_1,b_2,b_3,\dots$ נתון: $b_2=6$ , $b_5=-\frac29$ .
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום האיברים השליליים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A, ובה 40 איברים: $a_1,a_2,a_3,\dots$ . נתון: $a_7=3a_2$ . האיבר האחרון בסדרה A הוא 81.
תחום ההתכנסות של סדרה שמנתה x²-3 (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית שאיבריה הם: $(x^2-3),\ (x^2-3)^2,\ (x^2-3)^3,\ \dots$
סדרת ההופכיים של סדרה שאין לה סכום (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . נתון: $a_2=6$ , $a_4=54$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין-סופית: סכום האיברים במקומות הזוגיים · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
נתונה סדרה חשבונית A, ובה 46 איברים: $a_1,a_2,a_3,\dots$ . נתון: $a_2+a_4=a_6$ . האיבר האחרון בסדרה A הוא 138.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (16)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $b_n$ שבה $b_1=4$ והמנה 2, וסדרה הנדסית אינסופית $c_n$ שבה $c_1=4$ והמנה $\frac13$ .
תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית שבה $a_1=t-3$ והמנה היא $q=\frac t4$ , כאשר $t>0$ ו- $t\neq3$ .
תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (שאלה קצרה · בינונית)
בנוגע לכל אחד מההיגדים שבסעיפים א-ב, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.
סדרה הנדסית: מנה משני איברים, סוג הסדרה וסכום סדרת ההופכיים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . נתון: $a_2=6$ , $a_4=54$ .
הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ כשהאיבר הראשון נתון: מנה, התכנסות וסכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ שהאיבר הראשון שלה $a_1=2$ ומנתה $q$ ( $q\neq0$ ). בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר…
הכנסת איבר בין איברי סדרה הנדסית: מנה, סכומים ותת-סדרות (שאלה מלאה · קלה)
סדרה I היא סדרה הנדסית אין-סופית שאיברה הראשון הוא $a_1=45$ ומנתה $\frac49$ . בין כל שני איברים סמוכים בסדרה I…
סדרת מנות של שתי סדרות הנדסיות: התכנסות, סכום ושוויון סכומים (שאלה מלאה · קשה)
נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות. בסדרה A האיבר הראשון הוא $a_1=4$ והמנה היא $q_A=-\frac12$ . בסדרה B האיבר…
תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (שאלה קצרה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q$ , ו- $b_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $p$ (כל האיברים שונים מ-0). לכל $n$ טבעי:…
סדרה הנדסית שלילית, סדרת ההפכיים וסכום האיברים במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה $a_1,a_2,a_3,\ldots$ . כל איברי הסדרה A שליליים. נתון: $a_1=-\frac12$ ,…
סדרות הנדסיות אין-סופיות עם אותה מנה: מונוטוניות, סכום וסכומים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שבה $a_1=-6$ , ומנתה $q$ מקיימת $0<q<1$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שבה…
סדרות הנדסיות: מכפלה של שתי סדרות עולות וסכום אין-סופי (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה $\frac15$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה $\frac35$ ,…
מנוסחת הסכום לסדרה חשבונית, ואחריה סדרות הנדסיות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה $a_n$ שסכום $n$ האיברים הראשונים שלה, לכל $n$ טבעי, הוא: $S_n=2n^2+3n$ .
תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $a_n$ שבה $a_1=2$ והמנה $q=-4$ . בונים סדרה חדשה: $c_n=\frac{1}{a_{n+1}}$ , כלומר…
תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הסדרה ההנדסית האין-סופית: $6,\ -4,\ \frac83,\ -\frac{16}9,\ldots$ . מחליפים את הסימן של כל האיברים…
תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית שבה $a_1=2$ והמנה היא 3. נתונה סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימים $c_n=\frac{(k-1)^n}{a_n}$ לכל…
סדרות הנדסיות אינסופיות: הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי…