מבחן לדוגמה: הפונקציה ln x ותכונותיה - כיתה י"ב 4 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=\frac{2\ln x+1}{x}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

נתון: כאשר $x\to0^+$, $f(x)\to\infty$. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)$ שמקיימת $g'(x)=f(x)$. היעזרו בסקיצה וקבעו אם לפונקציה $g(x)$ יש מקסימום או מינימום בכל אחת מהנקודות $x=\frac1e$ ו-$x=1$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ושל $g(x)$.

הראו כי $f'(x)=\frac{2\ln x}{x}$, ומצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ ואת סוגה.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $g(x)$.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV מתאר את $f(x)$ ואיזה את $g(x)$. נמקו.

לפניכם ארבעה גרפים, I-IV. קבעו איזה מהם מייצג את הפונקציה $f(x)$. נמקו את קביעתכם.

האם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה-x? נמקו את תשובתכם.

תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הסבירו מדוע $1<b<2$.

נתונה הפונקציה $k(x)=\frac{1}{\ln(x)+x-2}$. מצאו את תחום ההגדרה שלה ואת התחום שבו $k(x)>0$. הביעו באמצעות $b$.

תארו כיצד מתקבל גרף הפונקציה $g(x)$ מגרף הפונקציה $f(x)$, ומצאו את $k$.

הישר $y=m$ חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $C$ ואת גרף הפונקציה $g(x)$ בנקודה $D$. הראו כי לכל ערך של $m$ מכפלת שיעורי ה-$x$ של הנקודות $C$ ו-$D$ שווה ל-$e^4$.

מצאו את הערך של $m$ שעבורו שיעור ה-$x$ של הנקודה $D$ גדול פי $e^2$ משיעור ה-$x$ של הנקודה $C$, ומצאו את אורך הקטע $CD$.