מבחן לדוגמה: חקירה מלאה וסרטוט סקיצה - כיתה י"ב 4 יח"ל

על פי הגרף, קבעו את סוג נקודת הקיצון של $f(x)$. נמקו.

נתון: $f(x)=\ln\left(6x-x^2-8\right)$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$.

הראו כי $f'(x)=\frac{6-2x}{6x-x^2-8}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ ואת $c$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)\cdot f'(x)$.

מצאו את התחומים שבהם $g(x)$ חיובית. היעזרו בסקיצה. נמקו.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

הראו כי $f'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה $f(x)$.

נתון: כאשר $x\to0^+$, $f(x)\to0$, וכאשר $x\to\infty$, $f(x)\to\infty$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של $f(x)$, ונגזרתה היא $g'(x)=f(x)-4$.

הסבירו מדוע נקודות הקיצון של $g(x)$ נמצאות בנקודות שבהן $f(x)=4$, ומצאו כמה נקודות קיצון יש ל-$g(x)$ ומה סוגן.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה, את נקודת הקיצון שלה ואת סוגה, ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$.

כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה עם הישר $y=\frac{1}{2e}$? נמקו.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה $g(x)=-2f(x)-12$.

האם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את גרף הפונקציה $g(x)$? נמקו את תשובתכם.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, את האסימפטוטה האנכית שלה ואת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה. סרטטו סקיצה של הגרף, אם ידוע שעבור $x$ גדול מאוד הגרף מתקרב לציר ה-$x$.

לאילו ערכים של $m$ יש למשוואה $f(x)=m$ בדיוק שני פתרונות? נמקו.

מצאו באמצעות $a$ את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן.

הוכיחו כי לכל ערך של $a$, נקודת המקסימום של $f(x)$ נמצאת על ישר אחד העובר בראשית, ומצאו את משוואתו.

השטח המוגבל על ידי גרף $f'(x)$ ועל ידי ציר ה-x הוא 4. מצאו את $a$.

הציבו $a=2$.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=m$ לכל $m>0$.