מבחן לדוגמה: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת - כיתה י"ב 4 יח"ל

מצאו את הסוג של נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ על פי הגרף. נמקו את תשובתכם.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=\frac{2\ln x+1}{x}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

נתון: כאשר $x\to0^+$, $f(x)\to\infty$. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)$ שמקיימת $g'(x)=f(x)$. היעזרו בסקיצה וקבעו אם לפונקציה $g(x)$ יש מקסימום או מינימום בכל אחת מהנקודות $x=\frac1e$ ו-$x=1$.

על פי הגרף, קבעו את סוג נקודת הקיצון של $f(x)$, ואת תחומי העלייה והירידה של $f(x)$ (הביעו באמצעות $c$). נמקו.

נתון: $f(x)=\ln\left(x^2-2x+5\right)$. מצאו את $c$, ואת התחומים שבהם הפונקציה $g(x)=f(x)\cdot f'(x)$ חיובית. נמקו.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

מצאו את התחום שבעבורו מתקיים $f(x)\cdot f'(x)>0$.

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק הוא $-1$.

הוכיחו כי לכל מספר ממשי $m$ יש על גרף הפונקציה נקודה אחת בדיוק שבה שיפוע המשיק הוא $m$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

הראו כי $f'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

$g(x)$ היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של $f(x)$, ונגזרתה היא $g'(x)=f(x)-4$.

הסבירו מדוע נקודות הקיצון של $g(x)$ נמצאות בנקודות שבהן $f(x)=4$, ומצאו כמה נקודות קיצון יש ל-$g(x)$ ומה סוגן.