מבחן לדוגמה: חוקי חזקות עם מעריך שלם - כיתה י"ב 4 יח"ל

הראו כי ערך הביטוי אינו תלוי ב-$n$, ומצאו אותו.

הראו כי $f'(x)=(4-2x)\,e^{x-1}$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=4\cdot e^{x-1}$, המוגדרת לכל $x$.

הסבירו מדוע הפונקציה $g(x)$ חיובית לכל $x$.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-$x$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי האנך, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי ציר ה-$y$.

הראו כי ערך הביטוי אינו תלוי ב-$n$, והביעו אותו באמצעות $a$.

קבעו בעבור כל אחת מן הטענות I-II אם היא נכונה או לא נכונה. I. כעבור 5 ימים מיום הקנייה היה נפח הבלון האדום גדול מנפח הבלון הכחול. II. כעבור 9 ימים מיום הקנייה היה נפח הבלון האדום גדול מנפח הבלון הכחול.

נתון כי נפח הבלון הכחול קטן ב-8% בכל יום.

מצאו את האחוז שבו נפח הבלון האדום קטן בכל יום.

כעבור $t$ ימים מיום הקנייה היה נפח הבלון האדום $\frac14$ מנפח הבלון הכחול.

מצאו את הערך של $t$.

לאחר כמה ימים החליטה נועה לנפח מחדש את הבלון האדום. במהלך הניפוח גדל נפח הבלון בכל שנייה ב-18%. בסיום הניפוח היה נפח הבלון גדול פי 5 מן הנפח שלו בתחילת הניפוח.

מצאו את מספר השניות שנמשך הניפוח.

חשבו את $E_1$ ואת $E_2$.

הראו כי $E_n=12$ לכל $n$ זוגי, וכי $E_n=-6$ לכל $n$ אי-זוגי.

הראו כי $E_n\cdot E_{n+1}=-72$ לכל $n$ טבעי, וחשבו את $E_{2025}+E_{2026}$.

מצאו בכמה אחוזים גדל מספר המשתמשים באפליקציה A בכל שבוע.

מצאו כמה משתמשים היו לאפליקציה B ביום ההשקה.

הראו כי היחס בין מספר המשתמשים ב-B לבין מספר המשתמשים ב-A גדל בכל שבוע באותו אחוז, ומצאו אחוז זה (בשמונת השבועות הראשונים).

לאחר 8 שבועות החל מספר המשתמשים באפליקציה A לקטון: בכל שבוע קטן מספר המשתמשים ב-A באותו האחוז שבו גדל לפני כן. מספר המשתמשים באפליקציה B המשיך לגדול כמו קודם.

לאחר כמה שבועות שלמים מיום ההשקה היה לראשונה מספר המשתמשים באפליקציה B גדול מפי 2 ממספר המשתמשים באפליקציה A?