שאלות פתוחות: חוקי חזקות עם מעריך שלם - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על חוקי חזקות עם מעריך שלם לכיתה י"ב, 4 יחידות. יש פישוט של ביטויים עם חזקות של 2 ו-3 שבמעריך שלהם n, ביטויים עם מעריכים שליליים, שימוש בנתונים כמו מנה בחזקת n כדי לחשב ביטוי אחר, ובעיות מילוליות על שתי בריכות דגים או שתי מניות שמשתנות באחוז קבוע. יש גם חקירת פונקציה שבנויה מחזקות של e. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מהן שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

37 שאלותקלה: 9בינונית: 22קשה: 6

שאלה 1 · חוקי חזקות עם מעריך שלםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי 2n+3−2n+12n+2+2n\frac{2^{n+3}-2^{n+1}}{2^{n+2}+2^n}2n+2+2n2n+3−2n+1​, כאשר nnn הוא מספר טבעי.

הראו כי ערך הביטוי אינו תלוי ב-nnn, ומצאו אותו.

שאלה 2 · חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ex⋅(ex−4)2f(x)=e^x\cdot(e^x-4)^2f(x)=ex⋅(ex−4)2, המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

הראו כי מתקיים: f(x)=e3x−8e2x+16exf(x)=e^{3x}-8e^{2x}+16e^xf(x)=e3x−8e2x+16ex.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=e3xg(x)=e^{3x}g(x)=e3x, העולה לכל xxx.

(1)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בקו מקווקו.

(3)

מצאו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי הגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x) ועל ידי ציר ה-yyy.

שאלה 3 · חוקי חזקות עם מעריך שלםשאלה קצרה · קשה

נתון כי (ab)n=4\left(\frac ab\right)^n=4(ba​)n=4 וכי (ac)n=12\left(\frac ac\right)^n=12(ca​)n=12, כאשר aaa, bbb, ccc שונים מאפס ו-nnn הוא מספר שלם.

א.

חשבו את (cb)n\left(\frac cb\right)^n(bc​)n.

ב.

חשבו את (a2bc)n\left(\frac{a^2}{bc}\right)^n(bca2​)n.

שאלה 4 · חוקי חזקות עם מעריך שלםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי a−1+b−1a−2−b−2\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}}a−2−b−2a−1+b−1​, כאשר a≠0a\ne 0a=0, b≠0b\ne 0b=0 ו-a≠±ba\ne \pm ba=±b.

פשטו את הביטוי.

שאלה 5 · גדילה ודעיכה: שתי בריכות דגים, שלב גידול ושלב דיגשאלה מלאה · בינונית

בשתי בריכות דגים - בריכה א' ובריכה ב' - החלו לגדל דגים באותו היום. ביום זה היו בבריכה א' 800 דגים, ובבריכה ב' היו aaa דגים. מספר הדגים בבריכה א' גדל ב-4% בכל שבוע, ומספר הדגים בבריכה ב' גדל ב-9% בכל שבוע. כעבור זמן מסוים מתחילת הגידול היה מספר הדגים בבריכה א' שווה למספר הדגים בבריכה ב'.

א.

לפניכם שתי טענות, I-II. קבעו איזו טענה נכונה. נמקו את קביעתכם.
I. a>800a>800a>800
II. a<800a<800a<800

ב.

כעבור 20 שבועות מתחילת הגידול היה מספר הדגים בבריכה ב' גדול פי 1.5 ממספר הדגים בבריכה א'.

מצאו את הערך של aaa.

ג.

כעבור 20 שבועות מתחילת הגידול, בשתי הבריכות הפסיקו להוסיף דגים והחלו לדוג אותם. מאותו היום שבו החלו לדוג, קטן מספר הדגים בבריכה ב' בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור 6 שבועות מן היום שבו החלו לדוג, היה מספר הדגים בבריכה ב' 60% ממספר הדגים בתחילת הדיג.

מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הדגים בבריכה ב' בכל שבוע.

ד.

מאותו היום שבו החלו לדוג, קטן מספר הדגים בבריכה א' בכל שבוע ב-5%.

מצאו כעבור כמה זמן מן היום שבו החלו לדוג, היה מספר הדגים בבריכה א' שווה למספר הדגים בבריכה ב'.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון, חיתוך ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ex⋅(ex−a)2f(x)=e^x\cdot(e^x-a)^2f(x)=ex⋅(ex−a)2, המוגדרת לכל xxx. aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=e3xg(x)=e^{3x}g(x)=e3x.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ג.

הוכיחו כי לכל a>0a>0a>0, נקודת החיתוך שמצאתם בסעיף ב נמצאת בין שתי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (לפי שיעור ה-xxx).

ד.

נתון כי שיעור ה-yyy של נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם גרף g(x)g(x)g(x) הוא 64.

(1)

מצאו את aaa.

(2)

מצאו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)f(x)f(x), הגרף של g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy.

שאלה 7 · חוקי חזקות עם מעריך שלםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי 32n+a⋅91−n27\frac{3^{2n+a}\cdot 9^{1-n}}{27}2732n+a⋅91−n​, כאשר aaa הוא מספר קבוע ו-nnn הוא מספר טבעי.

א.

הראו כי ערך הביטוי אינו תלוי ב-nnn, והביעו אותו באמצעות aaa.

ב.

מצאו את aaa שעבורו ערך הביטוי הוא 111.

שאלה 8 · גדילה ודעיכה: מחירי שתי מניות, שלב ירידה ושלב עלייהשאלה מלאה · בינונית

אנליסטית עקבה אחר המחירים של שתי מניות - מניה א' ומניה ב' - החל מאותו היום. ביום זה היה מחירה של מניה א' 150 שקלים, ומחירה של מניה ב' היה aaa שקלים. מחירה של מניה א' ירד ב-2% בכל חודש, ומחירה של מניה ב' ירד ב-6% בכל חודש. כעבור זמן מסוים מתחילת המעקב היה מחירה של מניה א' שווה למחירה של מניה ב'.

א.

לפניכם שתי טענות, I-II. קבעו איזו טענה נכונה. נמקו את קביעתכם.
I. a>150a>150a>150
II. a<150a<150a<150

ב.

כעבור 10 חודשים מתחילת המעקב היה מחירה של מניה א' גדול פי 1.4 ממחירה של מניה ב'.

מצאו את הערך של aaa.

ג.

כעבור 10 חודשים מתחילת המעקב החלו המחירים של שתי המניות לעלות. מאותו היום שבו החלו המחירים לעלות, עלה מחירה של מניה ב' בכל חודש באחוז קבוע. כעבור 5 חודשים מן היום שבו החלו המחירים לעלות, היה מחירה של מניה ב' 125% ממחירה ביום שבו החלו המחירים לעלות.

מצאו בכמה אחוזים עלה מחירה של מניה ב' בכל חודש.

ד.

מאותו היום שבו החלו המחירים לעלות, עלה מחירה של מניה א' בכל חודש ב-1.5%.

מצאו כעבור כמה זמן מן היום שבו החלו המחירים לעלות, היה מחירה של מניה א' שווה למחירה של מניה ב'.

שאלה 9 · גדילה ודעיכה: מתי משתוות שתי משתלות, ומאיזה קצב מכירהשאלה מלאה · קשה

בשתי משתלות - משתלה א' ומשתלה ב' - החלו לשתול צמחים באותו היום. ביום זה שתלו במשתלה א' 600 צמחים, ובמשתלה ב' שתלו aaa צמחים. מספר הצמחים במשתלה א' גדל ב-5% בכל שבוע, ומספר הצמחים במשתלה ב' גדל ב-10% בכל שבוע. כעבור 10 שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים בשתי המשתלות שווה.

א.

מצאו את הערך של aaa.

ב.

מצאו כעבור כמה שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב' גדול פי 2 ממספר הצמחים במשתלה א'.

ג.

מהרגע שבו מספר הצמחים במשתלה ב' היה גדול פי 2 ממספר הצמחים במשתלה א', הפסיקו לשתול והחלו למכור את הצמחים. מאותו רגע, מספר הצמחים במשתלה א' קטן בכל שבוע ב-8%, ומספר הצמחים במשתלה ב' קטן בכל שבוע ב-p%p\%p%. כעבור 16 שבועות מתחילת המכירה היה מספר הצמחים בשתי המשתלות שווה.

מצאו את ppp.

ד.

מצאו את כל הערכים של ppp (0<p<1000<p<1000<p<100) שעבורם מספר הצמחים בשתי המשתלות ישתווה לכל המאוחר 10 שבועות אחרי תחילת המכירה.

שאלה 10 · חוקי חזקות עם מעריך שלםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי 512−510511+510\frac{5^{12}-5^{10}}{5^{11}+5^{10}}511+510512−510​.

חשבו את ערך הביטוי בלי מחשבון.

עוד 10 שאלות על חוקי חזקות עם מעריך שלם

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

גדילה ודעיכה: חיידקים בשתי תרביות (שאלה מלאה · בינונית)
בניסוי במעבדה גידלו חיידקים בשתי תרביות, P ו-Q. מספר החיידקים בתרבית P גדל באחוז קבוע בכל שעה. מספר החיידקים בתרבית Q גדל בכל שעה באחוז…
גדילה ודעיכה: משתמשים בשתי אפליקציות (שאלה מלאה · קשה)
שתי אפליקציות, A ו-B, הושקו באותו יום. מספר המשתמשים באפליקציה A גדל באחוז קבוע בכל שבוע. מספר המשתמשים באפליקציה B גדל בכל שבוע באחוז הגדול…
גדילה: אצות בשתי בריכות (שאלה מלאה · קלה)
בבריכה A יש 2,000 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-5% בכל יום. בבריכה B יש 1,200 אצות, ומספר האצות בה גדל ב-10% בכל יום.
דעיכה של שני בלונים וניפוח מחדש (שאלה מלאה · בינונית)
נועה קנתה בלון כחול ובלון אדום. ביום הקנייה נפח הבלון הכחול היה 3,000 סמ"ק ונפח הבלון האדום היה 7,500 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד…
חזקות של בסיס שלילי: ביטוי שתלוי בזוגיות של n (שאלת ביניים · קשה)
לכל מספר טבעי $n$ מגדירים $E_n=\frac{(-3)^{n+2}+3^{n+1}}{3^{n}}$ .
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
חקירת מכפלה של שני גורמים מעריכיים, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-e^{x})\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא…
ביטוי עם חזקות שאינו תלוי ב-n (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הביטוי $\frac{3^{2n+a}\cdot 9^{1-n}}{27}$ , כאשר $a$ הוא מספר קבוע ו- $n$ הוא מספר טבעי.
פישוט ביטויים עם מעריכים שליליים וחישוב ערך (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים הביטויים $A=\frac{\left(x^{-1}y^{2}\right)^{3}}{x^{-4}y^{5}}$ ו- $C=\frac{x^{-2}-y^{-2}}{x^{-1}-y^{-1}}$ , כאשר $x\ne0$ , $y\ne0$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-6)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
גדילה ודעיכה: שתי משתלות, שלב שתילה ושלב מכירה · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
בשתי משתלות - משתלה א' ומשתלה ב' - החלו לשתול צמחים באותו היום. ביום זה שתלו במשתלה א' 600 צמחים, ובמשתלה ב' שתלו $a$ צמחים. מספר הצמחים במשתלה א' גדל ב-5% בכל…
גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים · בגרות 472 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3
שני שירים A ו-B הועלו ביום מסוים לאותה רשת חברתית. מספר ההאזנות לשיר A גדל באחוז קבוע בכל יום. מספר ההאזנות לשיר B גדל בכל יום באחוז הגדול פי 2 מן האחוז שבו גדל…
דעיכה של שני גופים מתנפחים: גלגל ים ומזרן ים · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 3
אמיר קנה גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה 3,700 סמ"ק ונפח המזרן היה 7,400 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל ונפח המזרן קטנו באחוז קבוע בכל יום (כל אחד…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{16}{e}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (12)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות (שאלה קצרה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שבה $a_1=4$ ו- $q=\frac12$ . נגדיר $b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי.
שני מעריכים לא ידועים: מכפלה ומנה נתונות (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו $a$ ו- $b$ הם מספרים טבעיים ( $1, 2, 3, \dots$ ), ו- $a>b$ .
הסימן של מכפלה ומנה של חזקות עם בסיס שלילי (שאלה קצרה · בינונית)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי ( $n=1, 2, 3, \dots$ ).
האם ייתכן ש- $a^{5} = a^{6}$ או ש- $a^{5} > a^{6}$ (שאלה קצרה · בינונית)
חזקות עם מעריך טבעי
סכום של שלוש חזקות עוקבות של 3 (שאלה קצרה · קלה)
הראו כי $3^{100}+3^{101}+3^{102}=3^{100}\cdot 13$
חזקות שהמעריכים שלהן ביטויים (שאלה קצרה · קלה)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי ( $n=1, 2, 3, \ldots$ ), ו- $a\neq0$ .
מכפלה ומנה נתונות: חישוב חזקות בלי למצוא את המספרים (שאלת ביניים · בינונית)
המספרים $x$ ו- $y$ מקיימים $x\cdot y=-2$ ו- $\frac{x}{y}=-8$ .
מעריך זוגי ומעריך אי-זוגי: מתי המינוס נעלם (שאלה קצרה · בינונית)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי.
מעריך חסר בעזרת פירוק לגורמים ראשוניים (שאלה קצרה · בינונית)
בשאלה זו $m$ ו- $n$ הם מספרים טבעיים. היעזרו בכך שלכל מספר טבעי יש פירוק אחד בלבד לגורמים ראשוניים.
חזקה של חזקה מול חזקה במעריך (שאלת ביניים · בינונית)
בביטוי $a^{b^c}$ המעריך הוא $b^c$ , ולכן מחשבים קודם את $b^c$ . לדוגמה, $5^{2^3}=5^8$ . בביטוי $(a^b)^c$ מעלים את…
השוואת חזקות בעזרת חזקה קרובה (שאלה קצרה · קשה)
פתרו בלי מחשבון ובלי לחשב את החזקות עד הסוף.
ערכים של חזקות בלי לדעת את הבסיס (שאלה קצרה · בינונית)
$a$ הוא מספר חיובי, ו- $u$ , $v$ הם מספרים טבעיים, $u>v$ . ידוע ש- $a^u=32$ ו- $a^v=2$ .