מבחן לדוגמה: משוואות מעריכיות בהשוואת בסיסים - כיתה י"ב 4 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 4 יח"ל

משוואות מעריכיות בהשוואת בסיסים

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · משוואות מעריכיות בהשוואת בסיסיםשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה 7x−7x−1=6x7^{x}-7^{x-1}=6^{x}7x−7x−1=6x.

פתרו את המשוואה.

נתונה המשוואה 4x=84^x=84x=8.

פתרו את המשוואה.

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−aex−5f(x)=e^{2x}-ae^x-5f(x)=e2x−aex−5, aaa הוא פרמטר.

א.

ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=ln⁡2x=\ln2x=ln2. חשבו את aaa.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:

ב.

(1)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

(4)

לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש אסימפטוטה אופקית אחת. רשמו את משוואתה.

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+5g(x)=f(x)+5g(x)=f(x)+5. על סמך הסעיפים הקודמים ענו:

ג.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם הצירים.

(3)

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ובין הצירים.

נתונה הפונקציה: f(x)=ex−ax−4f(x)=\frac{e^{x-a}}{x-4}f(x)=x−4ex−a​, aaa הוא פרמטר.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכת לציר ה-xxx.

ב.

נתון כי הנקודה (8,e64)\left(8,\frac{e^6}4\right)(8,4e6​) נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

מצאו את הפרמטר aaa.

הציבו בפונקציה f(x)f(x)f(x) את הפרמטר aaa שמצאתם בסעיף ב, וענו על הסעיפים ג-ה.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(2)

מצאו את תחומי הירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=−f(x)+12g(x)=-f(x)+12g(x)=−f(x)+12 המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x)f(x)f(x).

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו את תשובתכם.

נתונה המשוואה 4x−3x−12=3x+12−22x−14^{x}-3^{x-\frac12}=3^{x+\frac12}-2^{2x-1}4x−3x−21​=3x+21​−22x−1.

פתרו את המשוואה.

נתונה המשוואה 3x+2−3x=2x+4+2x+13^{x+2}-3^{x}=2^{x+4}+2^{x+1}3x+2−3x=2x+4+2x+1.

א.

הראו כי 3x+2−3x=8⋅3x3^{x+2}-3^{x}=8\cdot3^{x}3x+2−3x=8⋅3x וכי 2x+4+2x+1=18⋅2x2^{x+4}+2^{x+1}=18\cdot2^{x}2x+4+2x+1=18⋅2x.

ב.

פתרו את המשוואה הנתונה.

ג.

היעזרו בסעיף ב ופתרו את המשוואה 9x+1−9x=4x+2+2⋅4x9^{x+1}-9^{x}=4^{x+2}+2\cdot4^{x}9x+1−9x=4x+2+2⋅4x.