מבחן לדוגמה: משוואות מעריכיות בהצבה: משוואה ריבועית ב-aˣ - כיתה י"ב 4 יח"ל

פתרו את המשוואה עבור $a=-6$.

הראו כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך ראשית הצירים.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך הנוספת של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. היעזרו בהצבה $t=e^x$.

הראו כי $f'(x)=e^x-\frac{4}{e^x}$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נסמן ב-$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$, וב-$S_1$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $-f(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$.

האם $S_1$ גדול מ-$S$, קטן ממנו או שווה לו? נמקו.

הראו כי בהצבה $t=2^{x}$ המשוואה הופכת למשוואה $2t^{2}-9t+4=0$.

פתרו את המשוואה הנתונה.

נתונה המשוואה $2^{2x+1}-9\cdot2^{x}+k=0$, כאשר $k$ הוא פרמטר. ידוע כי $x=3$ הוא פתרון של המשוואה. מצאו את $k$, ופתרו את המשוואה עבור ערך זה של $k$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$. הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה-x בנקודה אחת בלבד - הנקודה B.

מצאו את שיעור ה-x של הנקודה B.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה-x ועל ידי הישר $x=\ln18$.

הראו כי לכל $x$ מתקיים $\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=4^{x}+4^{-x}+2$.

היעזרו בסעיף א ומצאו את הערך של $2^{x}+2^{-x}$ עבור $x$ המקיים את המשוואה הנתונה.

פתרו את המשוואה הנתונה.

הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה, ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$.

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה $f(x)$ ובין הצירים שווה ל-2. מצאו את $a$.

הציבו את הערך של $a$ שמצאתם. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה וקבעו מאיזה צד הגרף מתקרב אליה.

לאילו ערכים של $m$ יש למשוואה $f(x)=m$ בדיוק שני פתרונות?