שאלות פתוחות: משוואות מעריכיות בהצבה: משוואה ריבועית ב-aˣ - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על משוואות מעריכיות בהצבה - משוואה ריבועית ב-aˣ - לכיתה י"ב ברמת 4 יחידות. ברוב השאלות מופיעה פונקציה או משוואה שבה e בחזקת 2x לצד e בחזקת x, או 4 בחזקת x לצד 2 בחזקת x, והתלמידים מציבים משתנה עזר כדי למצוא נקודות חיתוך וקיצון. בחלק מהשאלות יש פרמטר וצריך לקבוע לאילו ערכים יש פתרון, ובחלק מוצגים גרפים בשרטוט. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. בוחרים שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

26 שאלותקלה: 4בינונית: 15קשה: 7

שאלה 1 · פונקציה מעריכית: חיתוכים, קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3f(x)=e2x−4ex+3.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (היעזרו בהצבה t=ext=e^xt=ex.)

ב.

הראו כי f′(x)=2ex(ex−2)f'(x)=2e^x(e^x-2)f′(x)=2ex(ex−2), ומצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה ואת סוגה.

ג.

מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ובין ציר ה-xxx.

שאלה 2 · משוואות מעריכיות בהצבה: משוואה ריבועית ב-aˣשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=3xf(x)=3^xf(x)=3x ו-g(x)=4−31−xg(x)=4-3^{1-x}g(x)=4−31−x. בשרטוט שלפניך גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).
-2-1122468

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x).

שאלה 3 · משוואות מעריכיות בהצבה: משוואה ריבועית ב-aˣשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה 4x+2x+a=04^{x}+2^{x}+a=04x+2x+a=0, כאשר aaa הוא פרמטר.

א.

פתרו את המשוואה עבור a=−6a=-6a=−6.

ב.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה פתרון.

שאלה 4 · חקירת פונקציה מעריכית: חיתוכים, קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=4ex+ex−5f(x)=\frac{4}{e^x}+e^x-5f(x)=ex4​+ex−5.

א.

הראו כי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עובר דרך ראשית הצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך הנוספת של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx. היעזרו בהצבה t=ext=e^xt=ex.

ג.

הראו כי f′(x)=ex−4exf'(x)=e^x-\frac{4}{e^x}f′(x)=ex−ex4​, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx, וב-S1S_1S1​ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה −f(x)-f(x)−f(x) ועל ידי ציר ה-xxx.

האם S1S_1S1​ גדול מ-SSS, קטן ממנו או שווה לו? נמקו.

שאלה 5 · משוואות מעריכיות בהצבה: משוואה ריבועית ב-aˣשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט שלפניך הגרפים של הפונקציות f(x)=(2+3)xf(x)=\left(2+\sqrt{3}\right)^xf(x)=(2+3​)x ו-g(x)=(2−3)xg(x)=\left(2-\sqrt{3}\right)^xg(x)=(2−3​)x.
-1.5-1.0-0.50.51.01.52468

א.

הראו כי f(x)⋅g(x)=1f(x)\cdot g(x)=1f(x)⋅g(x)=1 לכל xxx.

ב.

מצאו את ערכי xxx שעבורם f(x)+g(x)=14f(x)+g(x)=14f(x)+g(x)=14.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח נתון ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−aexf(x)=e^{2x}-ae^xf(x)=e2x−aex, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה, ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ב.

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ובין הצירים שווה ל-2. מצאו את aaa.

ג.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה וקבעו מאיזה צד הגרף מתקרב אליה.

ד.

לאילו ערכים של mmm יש למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m בדיוק שני פתרונות?

שאלה 7 · משוואה ריבועית ב-2ˣ ופסילת פתרון שלילישאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה 4x+2x+a=04^{x}+2^{x}+a=04x+2x+a=0, כאשר aaa הוא פרמטר.

פתרו את המשוואה עבור a=−6a=-6a=−6.

שאלה 8 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−aex−5f(x)=e^{2x}-ae^x-5f(x)=e2x−aex−5, aaa הוא פרמטר.

א.

ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=ln⁡2x=\ln2x=ln2. חשבו את aaa.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:

ב.

(1)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

(4)

לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש אסימפטוטה אופקית אחת. רשמו את משוואתה.

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+5g(x)=f(x)+5g(x)=f(x)+5. על סמך הסעיפים הקודמים ענו:

ג.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם הצירים.

(3)

חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ובין הצירים.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר חיתוכים, בעיה הפוכה ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=4ex+ex+cf(x)=\frac{4}{e^x}+e^x+cf(x)=ex4​+ex+c, ccc הוא פרמטר.

א.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (הביעו באמצעות ccc במידת הצורך), וקבעו את סוגה.

ב.

לאילו ערכים של ccc גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות? נמקו.

ג.

נתון כי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות, והמרחק בין שתי הנקודות הוא ln⁡9\ln9ln9.

מצאו את ccc.

ד.

בעבור הערך של ccc שמצאתם בסעיף ג, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx.

שאלה 10 · חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=9ex+ex4+cf(x)=\frac{9}{e^x}+\frac{e^x}{4}+cf(x)=ex9​+4ex​+c, ccc הוא פרמטר.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתון כי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עובר דרך ראשית הצירים.

מצאו את ccc.

הציבו בפונקציה f(x)f(x)f(x) את הערך של ccc שמצאתם בסעיף ב, וענו על הסעיפים ג-ו.

ג.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך הנוספת של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ד.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ו.

נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx. נסמן ב-S1S_1S1​ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה −f(x)-f(x)−f(x) ועל ידי ציר ה-xxx. נסמן ב-S2S_2S2​ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה 12⋅f(x)\frac12\cdot f(x)21​⋅f(x) ועל ידי ציר ה-xxx.

בעבור כל אחד מן השטחים S1S_1S1​ ו-S2S_2S2​ קבעו אם הוא גדול מ-SSS, קטן ממנו או שווה לו. נמקו את קביעותיכם.

עוד 9 שאלות על משוואות מעריכיות בהצבה: משוואה ריבועית ב-aˣ

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-a)^2$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-4)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח, מספר פתרונות ושטח בין גרף לישר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}+a\cdot e^{-x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, עם משוואה ריבועית ב- $e^{x}$ , וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}+12}{e^x-2}$ .
משוואה עם בסיסים צמודים 2±√3 (שאלה קצרה · קשה)
בשרטוט שלפניכם הגרפים של הפונקציות $f(x)=\left(2+\sqrt{3}\right)^x$ ו- $g(x)=\left(2-\sqrt{3}\right)^x$ .
חקירת פונקציית מנה מעריכית עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{e^{2x}-4e^x-5}$ . $a$ הוא פרמטר שונה מאפס.
משוואה עם 4ˣ ו-4⁻ˣ דרך הסכום 2ˣ+2⁻ˣ (שאלת ביניים · קשה)
נתונה המשוואה $4^{x}+4^{-x}=\frac{257}{16}$ .
נקודות חיתוך של שני גרפים: הצבה t=3ˣ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=3^x$ ו- $g(x)=4-3^{1-x}$ . בשרטוט שלפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ .
משוואה ריבועית ב-2ˣ ומציאת פרמטר מפתרון נתון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה המשוואה $2^{2x+1}-9\cdot2^{x}+4=0$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-3$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{e^x}+\frac{e^x}{2}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-6)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גרף של 1/f, ln f ו-e^f מתוך גרף f (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-4e^x+3$ , ונתונה הפונקציה $g(x)=\frac1{f(x)}$ .
פונקציה מעריכית ריבועית: קיצון, שטח וערך מוחלט (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-2)^2-9$ , המוגדרת לכל $x$ .
משוואות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x-\frac{6}{e^x+1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^{2x}+1$ ו- $g(x)=6e^x-7$ , המוגדרות לכל $x$ .