מבחן לדוגמה: מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודה - כיתה י"ב 4 יח"ל

הנקודה $A$ נמצאת על ציר ה-$x$, הנקודה $B$ על ציר ה-$y$ והנקודה $C$ על ציר ה-$z$. אמצע הקטע $AB$ הוא $(2,3,0)$, ואמצע הקטע $BC$ הוא $(0,3,4)$.

תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $A$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $B$, $D$, $A'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-$x$, של ציר ה-$y$ ושל ציר ה-$z$ בהתאמה. נתון: $AB=4$, המקצוע $AD$ ארוך פי 2 מהמקצוע $AA'$, ונפח התיבה הוא 72.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$. הנקודה $D$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש-$\overrightarrow{BD}=\frac45\overrightarrow{BC}$. הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש-$\overrightarrow{EM}=\frac56\overrightarrow{ED}$. המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה. נתון: $\angle BAC=90^\circ$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$, $\overrightarrow{AE}=\underline{w}$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$. $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{AS}=\underline w$.

$SABCD$ היא פירמידה ישרה שבסיסה הריבוע $ABCD$. אורך צלע הבסיס הוא $6\sqrt2$, ואורך כל מקצוע צדדי הוא $10$. הפירמידה ממוקמת במערכת צירים כך שמרכז הבסיס $O$ (נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע) הוא ראשית הצירים, הבסיס מונח במישור $xy$, הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$y$, ושיעור ה-$z$ של הקודקוד $S$ חיובי.

נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ ומקיימת $\overrightarrow{SE}=k\cdot\overrightarrow{SC}$, כאשר $0<k\le1$ (ראו סרטוט). נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{SA}=\underline w$. נתון: $|\underline u|=4$, $|\underline v|=3$, $|\underline w|=10$.