שאלות פתוחות: מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודה - כיתה י"ב 4 יח"ל

מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודה לכיתה י"ב (4 יחידות) - שאלות פתוחות לפתיחת ההצגה האלגברית. התלמידים מוצאים נקודות על הצירים לפי אמצעי קטעים, מוצאים קודקודים של קובייה שמרכזה ואחד מקודקודיה ידועים, מוצאים נקודה על ציר ה-y שמרחקה משתי נקודות שווה, וממקמים תיבה ופירמידות במערכת הצירים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבנות מהן דף עבודה לפתיחת הנושא או בוחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

37 שאלותקלה: 11בינונית: 21קשה: 5

שאלה 1 · מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודהשאלה קצרה · קלה

הנקודה AAA נמצאת על ציר ה-xxx, הנקודה BBB על ציר ה-yyy והנקודה CCC על ציר ה-zzz. אמצע הקטע ABABAB הוא (2,3,0)(2,3,0)(2,3,0), ואמצע הקטע BCBCBC הוא (0,3,4)(0,3,4)(0,3,4).

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA, BBB, CCC.

ב.

חשבו את אורך הקטע ACACAC.

שאלה 2 · מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודהשאלה קצרה · בינונית

מקצועות קובייה מקבילים לצירים. מרכז הקובייה (נקודת המפגש של אלכסוניה) הוא M(1,2,3)M(1,2,3)M(1,2,3), ואחד מקודקודיה הוא E(3,0,5)E(3,0,5)E(3,0,5).

א.

מצאו את אורך מקצוע הקובייה ואת שיעורי הקודקוד שבקצה השני של האלכסון היוצא מ-EEE.

ב.

מצאו את הקודקוד של הקובייה הרחוק ביותר מראשית הצירים, ואת מרחקו מהראשית.

שאלה 3 · פירמידה ישרה במערכת צירים: מציאת הקודקוד ונקודה על הגובהשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=6AO=6AO=6, BO=8BO=8BO=8. כל המקצועות הצדדיים של הפירמידה שווים ל-13, והקודקוד SSS נמצא מעל מישור xyxyxy.
OABSxyz

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד SSS.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה.

ג.

הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB, והנקודה PPP נמצאת על הקטע DSDSDS.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ∠APB=90∘.

ד.

האם יש על הקטע DSDSDS נקודה PPP שעבורה ∠OPA=90∘\angle OPA=90^\circ∠OPA=90∘? נמקו.

שאלה 4 · מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודהשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(2,−1,3)A(2,-1,3)A(2,−1,3) ו-B(0,3,1)B(0,3,1)B(0,3,1). הנקודה PPP נמצאת על ציר ה-yyy, ומרחקה מ-AAA שווה למרחקה מ-BBB.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP.

שאלה 5 · מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודהשאלה קצרה · בינונית

בסיס הפירמידה הישרה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט הוא הריבוע ABCDABCDABCD, שקודקודיו A(1,1,0)A(1,1,0)A(1,1,0), B(5,1,0)B(5,1,0)B(5,1,0), C(5,5,0)C(5,5,0)C(5,5,0), D(1,5,0)D(1,5,0)D(1,5,0). אורך כל מקצוע צדדי הוא 666, ושיעור ה-zzz של SSS חיובי.
ABCDSO

מצאו את שיעורי הקודקוד SSS.

שאלה 6 · תיבה במערכת צירים: מקבילית עם נקודה משתנהשאלה מלאה · קשה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד DDD נמצא בראשית הצירים. הקודקודים AAA, CCC, D′D'D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, של ציר ה-yyy ושל ציר ה-zzz בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: DC=5DC=5DC=5, AD=4AD=4AD=4, נפח התיבה הוא 120.
הנקודה FFF נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′ ומקיימת DF→=13DD′→\overrightarrow{DF}=\frac13\vec{DD'}DF=31​DD′. הנקודה KKK היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′CBB'C'CBB′C′C. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′, ו-ttt הוא שיעור ה-zzz שלה. הנקודה MMM מקיימת: המרובע FEKMFEKMFEKM הוא מקבילית.
yzABCDA'B'C'D'EFKx

א.

מצאו את שיעורי הנקודות FFF ו-KKK.

ב.

הביעו באמצעות ttt את שיעורי הנקודה MMM.

ג.

נתון כי הנקודות AAA, MMM, FFF נמצאות על ישר אחד. מצאו את ttt.

ד.

עבור ttt שמצאתם, חשבו את גודל הזווית FEKFEKFEK ואת שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM.

ה.

עבור ttt שמצאתם, השוו בין שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM לבין שטח המשולש AFKAFKAFK. נמקו.

שאלה 7 · פירמידה במערכת צירים: גובה ונפחשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=4AO=4AO=4, BO=6BO=6BO=6, ושיעורי הנקודה SSS הם (2,3,4)(2,3,4)(2,3,4). הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB.
OABSDxyz

א.

רשמו את שיעורי הנקודות AAA, BBB ו-DDD.

ב.

חשבו את אורכי המקצועות SASASA, SBSBSB ו-SOSOSO. מה אפשר להסיק על הפירמידה?

ג.

הראו כי DS→⊥OA→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OA}DS⊥OA ו-DS→⊥OB→\overrightarrow{DS}\perp\overrightarrow{OB}DS⊥OB, והסבירו מדוע DSDSDS הוא גובה הפירמידה.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה.

ה.

חשבו את גודל הזווית SODSODSOD בעזרת הווקטורים OS→\overrightarrow{OS}OS ו-OD→\overrightarrow{OD}OD.

שאלה 8 · פירמידה במערכת צירים: בסיס במישור xzשאלה מלאה · בינונית

בפירמידה המשולשת SABOSABOSABO הקודקודים AAA ו-BBB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xxx וציר ה-zzz בהתאמה (ראו ציור). הנקודה OOO היא ראשית הצירים. נתון: AO=4AO=4AO=4, BO=6BO=6BO=6. שיעורי הנקודה SSS הם (2,5,3)(2,5,3)(2,5,3).
OABSxyz

א.

(1)

רשמו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

(2)

הוכיחו כי הפירמידה SABOSABOSABO היא ישרה.

ב.

הנקודה DDD היא אמצע המקצוע ABABAB.

(1)

הראו כי הווקטור DS→\overrightarrow{DS}DS מאונך למישור בסיס הפירמידה ABOABOABO.

(2)

חשבו את נפח הפירמידה.

ג.

חשבו את גודל הזווית SODSODSOD.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ABCDABCDABCD הוא מלבן. המקצוע SASASA מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע SCSCSC ומקיימת SE→=k⋅SC→\overrightarrow{SE}=k\cdot\overrightarrow{SC}SE=k⋅SC, כאשר 0<k≤10<k\le10<k≤1 (ראו סרטוט). נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, SA→=w‾\overrightarrow{SA}=\underline wSA=w​. נתון: ∣u‾∣=4|\underline u|=4∣u​∣=4, ∣v‾∣=3|\underline v|=3∣v​∣=3, ∣w‾∣=10|\underline w|=10∣w​∣=10.
ABCDSE

א.

הביעו את הווקטורים EB→\overrightarrow{EB}EB ו-ED→\overrightarrow{ED}ED באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-kkk.

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שעבורם EB→\overrightarrow{EB}EB מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}ED. עבור אחד מהם הניצבות נובעת ישירות מכך שהבסיס מלבן - איזה, ומדוע?

ג.

עבור k=0.5k=0.5k=0.5 (כלומר כאשר EEE היא אמצע המקצוע SCSCSC), קבעו אם הזווית BEDBEDBED חדה, ישרה או קהה. נמקו.

ד.

הציבו את הערך של kkk שמצאתם בסעיף ב שעבורו E≠CE\ne CE=C. נתון: D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), הצלע ADADAD מונחת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הצלע DCDCDC מונחת על החלק החיובי של ציר ה-yyy, שיעור ה-zzz של הנקודה SSS הוא חיובי.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

(2)

חשבו את שטח המשולש DEBDEBDEB.

שאלה 10 · תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטחשאלה מלאה · קלה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד DDD נמצא בראשית הצירים. הקודקודים AAA, CCC, D′D'D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-xxx, של ציר ה-yyy ושל ציר ה-zzz בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: AD=2AD=2AD=2, DC=6DC=6DC=6, DD′=4DD'=4DD′=4.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע CC′CC'CC′ ומקיימת CE→=34CC′→\overrightarrow{CE}=\frac34\vec{CC'}CE=43​CC′, הנקודה FFF היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′, והנקודה KKK היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′CBB'C'CBB′C′C.
xyzABCDA'B'C'D'EFK

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB, CCC, C′C'C′.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות EEE, FFF, KKK.

ג.

נתונה הנקודה M(1,0,1)M(1,0,1)M(1,0,1). הראו כי המרובע FEKMFEKMFEKM הוא מקבילית.

ד.

(1)

חשבו את גודל הזווית FEKFEKFEK.

(2)

חשבו את שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM.

ה.

הראו כי MMM היא אמצע הקטע AFAFAF, וחשבו פי כמה שטח המקבילית FEKMFEKMFEKM גדול משטח המשולש AMKAMKAMK. היעזרו במשולש FMKFMKFMK.

עוד 18 שאלות על מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ ,…
וקטורים בפירמידה: איפה על הקטע נמצאת הנקודה שהווקטור אליה מאונך למישור (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה, $\angle BAC=90^\circ$ ו- $AB=AC=12$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה…
מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודה (שאלה קצרה · קלה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $A$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $B$ , $D$ , $A'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ ,…
וקטורים בפירמידה שמקצוע SB מאונך לבסיסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SB$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SD$ (ראו סרטוט). נסמן:…
פירמידה ישרה שאלכסוני בסיסה מונחים על הצירים (שאלה קצרה · קשה)
$SABCD$ היא פירמידה ישרה שבסיסה הריבוע $ABCD$ . אורך צלע הבסיס הוא $6\sqrt2$ , ואורך כל מקצוע צדדי הוא $10$ . הפירמידה ממוקמת במערכת צירים כך…
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
וקטורים בפירמידה גבוהה: ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac13\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך…
מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SC$ מאונך לבסיס הפירמידה (ראו סרטוט). נתון: $AB=6$ , $AD=2$ , $SC=4$ . הנקודה $A$ היא…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
וקטורים בפירמידה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 3. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=3$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
וקטורים בפירמידה נמוכה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $N$ נמצאת על $SD$ כך ש- $\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SD}$ . המקצוע $AS$ הוא…
וקטורים בפירמידה עם מקצועות שווים: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש- $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}$ . המקצוע $AE$ הוא…
וקטורים בפירמידה עם בסיס ישר-זווית לא שווה-שוקיים: ניצבות למישור ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BD}=\frac45\overrightarrow{BC}$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך…
פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי: מהוכחה לנפח ולזווית (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(3,3,6)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,1,0)$ , $B(5,1,0)$ , $C(5,5,0)$ , $D(1,5,0)$ .
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
שיעורי קודקודים של פירמידה שמקצועותיה מונחים על הצירים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ הוא גובה בפירמידה. נתון: $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC=6$ , $AS=3$ .
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: בסיס ריבועי משופע (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(2,2,5)$ וקודקודי הבסיס הם $A(1,0,1)$ , $B(4,1,1)$ , $C(3,4,1)$ , $D(0,3,1)$ .
שיעורי קודקודי פירמידה שמקצוע צדדי שלה מאונך לבסיס (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SC$ מאונך לבסיס הפירמידה (ראו סרטוט). נתון: $AB=6$ , $AD=2$ , $SC=4$ . הנקודה $A$ היא…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פירמידה במערכת צירים: פירמידה ישרה, גובה, נפח וזווית · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 2
בפירמידה המשולשת $SABO$ הקודקודים $A$ ו- $B$ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ בהתאמה (ראה ציור). הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון: $BO=4$ , $AO=2$ .…
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית, שטח ונקודות על ישר · בגרות 472 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ , של ציר ה- $y$ ושל…
וקטורים בפירמידה: ניצבות, מערכת צירים ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ (ראו סרטוט). נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac23\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCE$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $M$ נמצאת על $ED$ כך ש- $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}$ . המקצוע $AE$ הוא גובה בפירמידה. נתון:…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DP}=\frac13\vec{DD'}$ . נסמן:…
פירמידה ישרה בהצגה אלגברית: ריבוע, גובה, נפח וזווית · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 2
בפירמידה מרובעת $SABCD$ קודקוד הראש הוא $S(-2,3,3)$ וקודקודי הבסיס הם $A(-3,2,1)$ , $B(-3,4,1)$ , $C(-1,4,1)$ , $D(-1,2,1)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן. הקודקוד $D$ הוא ראשית הצירים, $A$ נמצא על החלק החיובי…