מבחן לדוגמה: ההיפרבולה - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונות הנקודות $F_1(0,13)$ ו-$F_2(0,-13)$. הנקודה $P(x,y)$ נעה במישור כך שמתקיים $|PF_1-PF_2|=14$.

האסימפטוטות של היפרבולה קנונית $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ הן הישרים $y=2x$ ו-$y=-2x$. ידוע כי לכל נקודה על ההיפרבולה, מכפלת המרחקים שלה משתי האסימפטוטות שווה ל-$\dfrac{16}{5}$.

הישרים $y=\dfrac43x$ ו-$y=-\dfrac43x$ הם האסימפטוטות של שתי היפרבולות, $H_1$ ו-$H_2$. לכל אחת מהן מרכז בראשית הצירים, והמוקדים שלה על אחד הצירים. ההיפרבולה $H_1$ עוברת דרך הנקודה $P(3,8)$, וההיפרבולה $H_2$ עוברת דרך הנקודה $Q(6,4)$.

הישר $y=x+1$ חותך את ההיפרבולה $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ בנקודות $A$ ו-$B$.

נתונים הישר $y=kx+1$ וההיפרבולה $x^2-y^2=1$.

נתונה ההיפרבולה $x^2-y^2=8$. מעגל שמרכזו בנקודה $(0,3)$ עובר דרך שני המוקדים של ההיפרבולה.

נתונה ההיפרבולה $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1$. מעגל שמרכזו בנקודה $(d,0)$ משיק להיפרבולה בשתי נקודות שאינן קודקודיה.

במשולש $ABC$ הקודקודים $B(-2,0)$ ו-$C(2,0)$ קבועים, והקודקוד $A(x_0,y_0)$ נע על ההיפרבולה $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$, בנקודות שבהן $ABC$ הוא אכן משולש. הנקודה $H$ היא נקודת המפגש של הגבהים במשולש $ABC$. נתון כי שיעורי הנקודה $H$ הם $H\left(x_0,\ -\frac{y_0}{4}\right)$.