שאלות פתוחות: מצב הדדי בין ישר להיפרבולה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצב הדדי בין ישר להיפרבולה לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן נקודות החיתוך של ישר והיפרבולה, ישר עם שיפוע כפרמטר ובדיקה כמה נקודות משותפות יש לו עם ההיפרבולה, שני משיקים מנקודה נתונה, משפחת ישרים מקבילים, ומשיק בנקודה על ההיפרבולה. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לשאלה במבחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

10 שאלותקלה: 2בינונית: 6קשה: 2

שאלה 1 · מצב הדדי בין ישר להיפרבולהשאלה קצרה · קלה

הישר y=x+1y=x+1y=x+1 חותך את ההיפרבולה x2−y23=1x^2-\dfrac{y^2}{3}=1x2−3y2​=1 בנקודות AAA ו-BBB.

א.

מצאו את הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

חשבו את אורך המיתר ABABAB.

שאלה 2 · מצב הדדי בין ישר להיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

נתונים הישר y=kx+1y=kx+1y=kx+1 וההיפרבולה x2−y2=1x^2-y^2=1x2−y2=1.

א.

מצאו עבור אילו ערכים של kkk הישר משיק להיפרבולה, ומצאו את נקודות ההשקה.

ב.

האם קיימים ערכים נוספים של kkk שעבורם לישר ולהיפרבולה יש נקודה משותפת אחת בדיוק? אם כן - מצאו אותם ואת הנקודה המשותפת; אם לא - נמקו.

שאלה 3 · משיקים להיפרבולה מנקודה שמחוץ לה, בעזרת הדיסקרימיננטהשאלה קצרה · קשה

מהנקודה P(0,−1)P(0,-1)P(0,−1) מעבירים שני משיקים להיפרבולה x2−y23=1x^2-\dfrac{y^2}{3}=1x2−3y2​=1 (ראו סרטוט).
-4-224-4-2246P

מצאו את משוואות המשיקים ואת נקודות ההשקה.

שאלה 4 · נקודות החיתוך של ישר והיפרבולהשאלה קצרה · קלה

הישר y=x+1y=x+1y=x+1 חותך את ההיפרבולה x2−y23=1x^2-\dfrac{y^2}{3}=1x2−3y2​=1 בנקודות AAA ו-BBB.

מצאו את הנקודות AAA ו-BBB.

שאלה 5 · מצב הדדי בין ישר להיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

מהנקודה P(0,−1)P(0,-1)P(0,−1) מעבירים שני משיקים להיפרבולה x2−y23=1x^2-\dfrac{y^2}{3}=1x2−3y2​=1 (ראו סרטוט).
-4-224-4-2246P

א.

מצאו את משוואות המשיקים ואת נקודות ההשקה.

ב.

חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם PPP ושתי נקודות ההשקה.

שאלה 6 · מיתרים של היפרבולה על ישרים מקבילים: אמצע המיתר ואורכושאלת ביניים · קשה

נתונה ההיפרבולה x22−y28=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{8}=12x2​−8y2​=1, ונתונה משפחת הישרים y=x+ny=x+ny=x+n, כאשר nnn פרמטר.

א.

הראו כי לכל ערך של nnn הישר חותך את ההיפרבולה בשתי נקודות. נסמן אותן AAA ו-BBB.

ב.

הראו כי אמצע המיתר ABABAB נמצא תמיד על הישר y=4xy=4xy=4x.

ג.

מצאו את ערכי nnn שעבורם אורך המיתר ABABAB הוא 424\sqrt242​.

שאלה 7 · מצב הדדי בין ישר להיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

הנקודה P(154,3)P\left(\dfrac{15}{4},3\right)P(415​,3) נמצאת על ההיפרבולה x29−y216=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=19x2​−16y2​=1. המשיק להיפרבולה בנקודה PPP חותך את שתי האסימפטוטות של ההיפרבולה בנקודות AAA ו-BBB (ראו סרטוט). OOO היא ראשית הצירים.
POAB

א.

מצאו את משוואת המשיק להיפרבולה בנקודה PPP.

ב.

מצאו את הנקודות AAA ו-BBB, וחשבו את שטח המשולש OABOABOAB.

שאלה 8 · מצב הדדי בין ישר להיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

נתונה ההיפרבולה x24−y25=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=14x2​−5y2​=1.

א.

מצאו את משוואות כל המשיקים להיפרבולה העוברים דרך הנקודה (2,3)(2,3)(2,3).

ב.

מצאו את נקודות ההשקה של המשיקים שמצאתם.

שאלה 9 · נקודות ההשקה של שני משיקים נתונים להיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

נתונה ההיפרבולה x24−y25=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=14x2​−5y2​=1. דרך הנקודה (2,3)(2,3)(2,3) עוברים שני משיקים להיפרבולה: הישר x=2x=2x=2 והישר y=76x+23y=\dfrac76x+\dfrac23y=67​x+32​.

מצאו את נקודות ההשקה של שני המשיקים.

שאלה 10 · ישר דרך נקודה קבועה והיפרבולה: משיקים, ישרים המקבילים לאסימפטוטות וישרים שאינם פוגשים אותהשאלת ביניים · בינונית

נתונים הישר y=kx+1y=kx+1y=kx+1 וההיפרבולה x2−y2=1x^2-y^2=1x2−y2=1.

א.

מצאו עבור אילו ערכים של kkk הישר משיק להיפרבולה, ומצאו את נקודות ההשקה.

ב.

האם קיימים ערכים נוספים של kkk שעבורם לישר ולהיפרבולה יש נקודה משותפת אחת בדיוק? אם כן - מצאו אותם ואת הנקודה המשותפת; אם לא - נמקו.

ג.

מצאו עבור אילו ערכים של kkk אין לישר ולהיפרבולה אף נקודה משותפת.