שאלות פתוחות: אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) - כיתה י"ב 5 יח"ל

בדף הזה 17 שאלות פתוחות במתמטיקה על אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)), לתלמידי כיתה י"ב 5 יח"ל, מתוך הנושא "טכניקות אינטגרציה (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

17 שאלותקלה: 10בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · פונקציה קדומה כשהנגזרת הפנימית מופיעה במלואהשאלה קצרה · קלה

בכל סעיף מצאו את כל הפונקציות הקדומות של הפונקציה הנתונה. (הדרכה: זהו את הפונקציה הפנימית, וגזרו אותה.)

א.

f(x)=2x(x2+3)4f(x)=2x\left(x^2+3\right)^4f(x)=2x(x2+3)4

ב.

g(x)=(2x+1)(x2+x)3g(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)^3g(x)=(2x+1)(x2+x)3

שאלה 2 · חקירת $x^{n} (ln x - 1)^{2}$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=xn⋅(ln⁡x−1)2f(x)=x^n\cdot(\ln x-1)^2f(x)=xn⋅(lnx−1)2 המוגדרת בתחום x>0x>0x>0. nnn הוא פרמטר טבעי.

א.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ב.

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1 הוא −1-1−1.

מצאו את הערך של nnn.

הציבו n=1n=1n=1 בפונקציה f(x)f(x)f(x) וענו על הסעיפים ג'-ו'.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ו.

aaa הוא פרמטר, a>2a>2a>2. נתון כי השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על-ידי ציר ה-xxx ועל-ידי הישרים x=e2x=e^2x=e2 ו-x=eax=e^ax=ea הוא 0.60.60.6.

מצאו את הערך של aaa.

שאלה 3 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלה קצרה · קשה

F(x)F(x)F(x) היא פונקציה קדומה של f(x)=x(x2−1)3f(x)=x\left(x^2-1\right)^3f(x)=x(x2−1)3. ידוע כי הערך המינימלי של הפונקציה F(x)F(x)F(x) הוא 222.

מצאו את F(x)F(x)F(x), ומצאו את ערך המקסימום המקומי של F(x)F(x)F(x). (הדרכה: הנגזרת של x2−1x^2-1x2−1 היא 2x2x2x.)

שאלה 4 · בדיקת פונקציה קדומה ומציאת קדומה של מנהשאלה קצרה · קלה

בסעיפים הבאים משתמשים בכלל: אם u(x)u(x)u(x) פונקציה גזירה, אז הנגזרת של (u(x))n\left(u(x)\right)^n(u(x))n היא n(u(x))n−1⋅u′(x)n\left(u(x)\right)^{n-1}\cdot u'(x)n(u(x))n−1⋅u′(x).

א.

הראו כי F(x)=(3x2+1)530F(x)=\frac{\left(3x^2+1\right)^5}{30}F(x)=30(3x2+1)5​ היא פונקציה קדומה של f(x)=x(3x2+1)4f(x)=x\left(3x^2+1\right)^4f(x)=x(3x2+1)4.

ב.

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של g(x)=2x−3(x2−3x)2g(x)=\frac{2x-3}{\left(x^2-3x\right)^2}g(x)=(x2−3x)22x−3​ (בכל תחום שבו ggg מוגדרת).

שאלה 5 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלת ביניים · בינונית

a>0a>0a>0 הוא פרמטר. נתונה הפונקציה f(x)=xx2+9f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}f(x)=x2+9​x​.

א.

הביעו באמצעות aaa את ∫0af(x) dx\int_0^a f(x)\,dx∫0a​f(x)dx. (הדרכה: הנגזרת של x2+9x^2+9x2+9 היא 2x2x2x.)

ב.

מצאו את aaa שעבורו ∫0af(x) dx=2\int_0^a f(x)\,dx=2∫0a​f(x)dx=2.

שאלה 6 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלת ביניים · קשה

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה רציפה, ו-G(x)G(x)G(x) היא פונקציה קדומה שלה. ידוע כי G(1)=3G(1)=3G(1)=3 ו-G(5)=7G(5)=7G(5)=7.

א.

חשבו את ∫02x⋅g(x2+1)dx\int_0^2 x\cdot g\left(x^2+1\right)dx∫02​x⋅g(x2+1)dx. (הדרכה: הנגזרת של x2+1x^2+1x2+1 היא 2x2x2x.)

ב.

חשבו את ∫−22x⋅g(x2+1)dx\int_{-2}^{2} x\cdot g\left(x^2+1\right)dx∫−22​x⋅g(x2+1)dx. נמקו.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (11)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מגרף הנגזרת לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם גרף הפונקציה $f'(x)$ (נתון כי $f'(0)=0$ וכן $f'(b)=0$ ):
מגרף נגזרת אי-זוגית לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם גרף הפונקציה $f'(x)$ (נתון כי $f'(-b)=0$ , $f'(0)=0$ וכן $f'(b)=0$ ):
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של…
מגרף נגזרת שלילית לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של…
מגרף הנגזרת למספר הפתרונות, וסימן הפרמטר מתוך שטח של $f^{'} \cdot f$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של…
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+2}{x}$ , ונתונה הפונקציה $h(x)=f'(x)\cdot(f(x))^3$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{10x}{(x^2+4)^3}$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $q(x)=\frac{\sqrt x}{x+1}$ המוגדרת לכל $x\ge0$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת וגזירה לכל $x$ . לפונקציה יש שתי נקודות קיצון בלבד: נקודת מקסימום $(1,3)$ ונקודת מינימום…
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq-1$ , והפונקציה $h(x)=g(x)\cdot g'(x)$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $h(x)=x^2+2x+2$ , והפונקציה $g(x)=\frac{-h^{\prime}(x)}{(h(x))^2}$ .