מבחן לדוגמה: אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) - כיתה י"ב 5 יח"ל

$f(x)=2x\left(x^2+3\right)^4$

$g(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)^3$

הראו כי $F(x)=\frac{\left(3x^2+1\right)^5}{30}$ היא פונקציה קדומה של $f(x)=x\left(3x^2+1\right)^4$.

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של $g(x)=\frac{2x-3}{\left(x^2-3x\right)^2}$ (בכל תחום שבו $g$ מוגדרת).

הביעו באמצעות $a$ את $\int_0^a f(x)\,dx$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2+9$ היא $2x$.)

מצאו את $a$ שעבורו $\int_0^a f(x)\,dx=2$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=1$ הוא $-1$.

מצאו את הערך של $n$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

$a$ הוא פרמטר, $a>2$. נתון כי השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על-ידי ציר ה-$x$ ועל-ידי הישרים $x=e^2$ ו-$x=e^a$ הוא $0.6$.

מצאו את הערך של $a$.

מצאו את $F(x)$, ומצאו את ערך המקסימום המקומי של $F(x)$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-1$ היא $2x$.)

חשבו את $\int_0^2 x\cdot g\left(x^2+1\right)dx$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2+1$ היא $2x$.)

חשבו את $\int_{-2}^{2} x\cdot g\left(x^2+1\right)dx$. נמקו.