דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: משיק למעגל בנקודה שעליו - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על משיק למעגל בנקודה שעליו (המעגל), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
משיק למעגל בנקודה שעליו
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · אליפסה מקודקוד ונקודה, מקום גאומטרי ומעגל המשיק לשני ישריםשאלה מלאה · קלה

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה B(6,0)B(6,0) היא קודקוד של האליפסה על ציר ה-xx, והנקודה A(2,4)A(2,4) נמצאת על האליפסה. O היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת האליפסה ואת שיעורי המוקדים שלה.

ב.

הנקודה C נמצאת על הישר AO, ושיעור ה-xx שלה הוא tt. הנקודה P היא אמצע הקטע BC.

(1)

הביעו באמצעות tt את שיעורי הנקודה P.

(2)

הראו כי כל הנקודות P נמצאות על הישר y=2x−6y=2x-6.

ג.

מצאו את המרחק בין הישר AO ובין הישר y=2x−6y=2x-6.

ד.

מעגל משיק לישר AO בנקודה O, ומשיק גם לישר y=2x−6y=2x-6. מרכז המעגל נמצא על הישר המאונך ל-AO בנקודה O. מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 2 · משיקים לשני מעגלים: מקום גאומטרי ומשיק לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל I שמשוואתו: x2+(y−3)2=9x^2+(y-3)^2=9, ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: (x−4)2+(y−1)2=1(x-4)^2+(y-1)^2=1, ומרכזו בנקודה L. M(x,y)M(x,y) היא נקודה מחוץ לשני המעגלים. מן הנקודה M מעבירים משיק למעגל I, שמשיק לו בנקודה A, ומשיק למעגל II, שמשיק לו בנקודה B.

א.

הסבירו מדוע המשולש MAK ישר-זווית, והראו כי MA2=x2+(y−3)2−9MA^2=x^2+(y-3)^2-9.

ב.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות M שבעבורן MA=MBMA=MB.

ג.

הנקודה M נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם, ושיעור ה-xx שלה הוא 4. מצאו את האורך של MA ואת האורך של MB.

ד.

הנקודה M שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה y2=2pxy^2=2px.

מצאו את pp ואת משוואת המשיק לפרבולה בנקודה M.

שאלה 3 · משיק למעגל בנקודה שעליושאלה קצרה · בינונית

מעגל שמרכזו M(5,5)M(5,5) משיק לישר 2x+y−5=02x+y-5=0.

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה של המעגל והישר.

שאלה 4 · משיק למעגל בנקודה שעליושאלה קצרה · בינונית

נתון מעגל שמשוואתו (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2+(y+1)^2=25. הנקודה A(5,3)A(5,3) נמצאת על המעגל.

א.

מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

ב.

הקטע ACAC הוא קוטר של המעגל. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה CC, ואת המרחק בין שני המשיקים.

שאלה 5 · אורכי משיקים לשני מעגלים: המקום הגאומטרי MA=MBשאלת ביניים · קשה

נתונים המעגלים: (x−1)2+(y−2)2=1(x-1)^2+(y-2)^2=1, שמרכזו בנקודה K, ו-(x−6)2+(y−7)2=31(x-6)^2+(y-7)^2=31, שמרכזו בנקודה L. מנקודה M שמחוץ לשני המעגלים מעבירים משיק אחד לכל מעגל: MA למעגל הראשון ו-MB למעגל השני (A ו-B הן נקודות ההשקה).

א.

מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות M שבעבורן MA=MBMA=MB.

ב.

מבין כל הנקודות M שעל המקום הגאומטרי, מצאו את הנקודה שממנה אורך המשיק MA הוא הקטן ביותר, ואת האורך הזה.

ג.

מצאו את כל הנקודות M שעל המקום הגאומטרי שבעבורן הזווית KML ישרה.

שאלה 6 · פרבולה עם פרמטר: מעגל משיק ומקום גאומטרי דרך הראשיתשאלה מלאה · קשה

נתונה פרבולה שמשוואתה: y2=2pxy^2=2px, p>0p>0 הוא פרמטר. בנקודה AA, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 34\frac34.

א.

הביעו באמצעות pp את שיעורי הנקודה AA.

ב.

הנקודה AA נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה MM. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה AA, וכי ציר ה-yy משיק למעגל כך ששיעור ה-xx של הנקודה MM קטן משיעור ה-xx של הנקודה AA.

(1)

הביעו באמצעות pp את משוואת הישר AMAM.

(2)

הביעו באמצעות pp את משוואת המעגל.

ג.

נקודה BB היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך BB מעבירים משיק למעגל. הנקודה PP נמצאת על המשיק כך ש-BP=16BP=16.

(1)

ידוע כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות PP המתקבלות באופן זה עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את הערך של pp.

(2)

הציבו p=9p=9. נקודה QQ נמצאת על המשיק למעגל בנקודה BB כך ש-BQ=dBQ=d (d>0d>0). מצאו עבור אילו ערכים של dd יש על המקום הגאומטרי של כל הנקודות QQ שתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא 26.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.