מבחן לדוגמה: מקומות גאומטריים שהם מעגל - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות $C$ המקיימות $AC^2+BC^2=150$.

מצאו את נקודות החיתוך של המקום הגאומטרי עם ציר ה-$y$.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

הראו כי משוואת המשיק $\ell$ היא $y=x+2$.

מעגל I שמרכזו בנקודה F משיק לישר $\ell$. מצאו את שיעורי F ואת משוואת מעגל I. (רדיוס המעגל הוא המרחק של מרכזו מהמשיק.)

מעגל I משיק לישר $\ell$ בנקודה B. מצאו את שיעורי B, והראו שהיא נמצאת על ציר ה-$y$. (B היא עקב האנך מ-F לישר $\ell$.)

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שרדיוסם $\sqrt2$ והמשיקים מבפנים למעגל I. (בהשקה מבפנים, המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים.)

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

מצאו את המרחק הגדול ביותר ואת המרחק הקטן ביותר בין הקודקוד $A$ לנקודה על המקום הגאומטרי.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם.

מעגל M הוא אחד מן המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם. נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה-$x$ הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית.

מצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

נסמן ב-F את המוקד הימני של האליפסה. ישר המאונך לציר ה-$x$ עובר במוקד השמאלי של האליפסה. הישר חותך את האליפסה בנקודות Q ו-T, ואת המעגל M בנקודות K ו-L. נתון כי היחס בין שטח המשולש KLF לבין שטח המשולש TQF הוא $\frac{13}{5}$.

מצאו את משוואת האליפסה.

ישר אחר המאונך לציר ה-$x$ חותך את האליפסה בשתי נקודות ואת המעגל M בשתי נקודות, ואינו עובר ב-F. האם היחס בין שטח המשולש שקודקודיו F ונקודות החיתוך עם המעגל לבין שטח המשולש שקודקודיו F ונקודות החיתוך עם האליפסה תלוי במיקום הישר? נמקו.

הוכיחו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

מצאו את הנקודות $P$ על המקום הגאומטרי שעבורן $\angle APB=90^\circ$.

הישר $y=x-1$ חותך את המקום הגאומטרי בשתי נקודות. מצאו את שיעורי שתי הנקודות ואת המרחק ביניהן.

הביעו באמצעות $p$ את שיעורי הנקודה $A$.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$, וכי ציר ה-$y$ משיק למעגל כך ששיעור ה-$x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה-$x$ של הנקודה $A$.

נקודה $B$ היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך $B$ מעבירים משיק למעגל. הנקודה $P$ נמצאת על המשיק כך ש-$BP=16$.