מבחן לדוגמה: מרחק נקודה מישר - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את אורך הגובה היורד מהקודקוד $C$ אל הצלע $AB$.

חשבו את שטח המשולש $ABC$.

מצאו את משוואת הצלע $AB$ ואת המרחק של הצלע $AB$ מראשית הצירים.

בתוך המעוין חסום מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה $M$ היא נקודת ההשקה של המעגל והצלע $AB$. $M$ היא עקב האנך מראשית הצירים לצלע $AB$.

מצאו את שיעורי הנקודה $M$.

מן הנקודה $M$ מורידים אנך לציר ה-$x$ החותך אותו בנקודה $K(a,0)$. על הישר $x=-a$ מסמנים נקודה $E$ ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-$x$. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע $EK$ בנקודה $G$.

הסבירו מדוע הנקודה $G$ נמצאת במרחק שווה מהנקודה $K$ ומהישר $x=-a$, ומצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $G$.

הנקודה $N$ נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף ד, ושיעור ה-$x$ שלה הוא 10.

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו $N$ והוא משיק מבחוץ למעגל החסום במעוין.

מצאו את שיעורי הנקודה $P$ שמרחקה מהישר הוא הקטן ביותר, וחשבו מרחק זה.

הביעו באמצעות $t$ את רדיוס המעגל.

הישר $y=2x$ משיק למעגל.

מצאו את הערך של $t$.

הזיזו את מעגל I כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים O. A היא נקודה כלשהי על מעגל II כך ש-$-3\le y_A\le3$. דרך הנקודה A מעבירים מיתר AB המאונך לציר ה-$y$. נקודה P נמצאת על המיתר AB כך שמתקיים $AB=4\cdot PO$.

הראו כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה K היא המוקד הימני, והנקודה F היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. C היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש CKF.

חשבו את היקף המשולש CKF.

האם קיימת נקודה C שבעבורה שטח המשולש CKF הוא 4? נמקו את תשובתכם.

מצאו את שיעורי הנקודה M.

מצאו את משוואת הישר $AB$.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה $M$ של המעגל והצלע $AB$, ואת שטח המעוין.