שאלות פתוחות: מרחק נקודה מישר - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מרחק נקודה מישר לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות חישוב גובה ושטח של משולש לפי קודקודיו, נקודה על ציר ה-x ששטח המשולש איתה נתון, הנקודה על פרבולה הקרובה ביותר לישר, מעגל החסום במשולש שצלעותיו על ישרים נתונים, ומרחק משיק לגרף פונקציה מנקודה. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

40 שאלותקלה: 8בינונית: 27קשה: 5

שאלה 1 · מרחק נקודה מישרשאלה קצרה · קלה

קודקודי משולש ABCABCABC הם A(1,2)A(1,2)A(1,2), B(5,5)B(5,5)B(5,5) ו-C(2,6)C(2,6)C(2,6) (ראו סרטוט).
2462468ABC

א.

חשבו את אורך הגובה היורד מהקודקוד CCC אל הצלע ABABAB.

ב.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 2 · מרחק נקודה מישרשאלה קצרה · בינונית

נתונים הפרבולה y=x2y=x^2y=x2 והישר y=2x−5y=2x-5y=2x−5 (ראו סרטוט). הנקודה PPP נמצאת על הפרבולה.
-3-2-112345-6-4-2246810

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שמרחקה מהישר הוא הקטן ביותר, וחשבו מרחק זה.

שאלה 3 · מעוין סביב מעגל: משיק מנקודה חיצונית, מקום גאומטרי ומעגל דרך המוקדשאלה מלאה · קשה

נתון מעוין ABCDABCDABCD שאלכסוניו מונחים על הצירים: הקודקוד AAA על החלק החיובי של ציר ה-xxx והקודקוד BBB על החלק החיובי של ציר ה-yyy. המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25x2+y2=25 חסום במעוין. הישר שעליו מונחת הצלע ABABAB עובר דרך הנקודה P(−1,7)P(-1,7)P(−1,7).

א.

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה MMM של המעגל והצלע ABABAB, ואת שטח המעוין.

ג.

מן הנקודה MMM מורידים אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה K(a,0)K(a,0)K(a,0). על הישר x=−ax=-ax=−a מסמנים נקודה EEE ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-xxx. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע EKEKEK בנקודה GGG.

מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות GGG המתקבלות באופן זה.

ד.

הנקודה NNN נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם.

מצאו את שיעורי NNN שעבורה המעגל שמרכזו NNN ועובר דרך הנקודה KKK משיק למעגל החסום במעוין. קבעו איזה משני המעגלים מכיל את האחר.

שאלה 4 · מעגל חסום במשולש ישר-זווית: צלע משיקה מקודקוד ומרכז המעגל החוסםשאלה מלאה · קלה

המעגל (x+1)2+y2=20(x+1)^2+y^2=20(x+1)2+y2=20 חסום במשולש ABCABCABC.
הצלע ABABAB נמצאת על הישר x+2y+11=0x+2y+11=0x+2y+11=0, והצלע ACACAC נמצאת על הישר 2x−y−8=02x-y-8=02x−y−8=0.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד AAA, והראו כי AB⊥ACAB\perp ACAB⊥AC.

ב.

הראו כי המעגל משיק לישרים ABABAB ו-ACACAC.

ג.

הקודקוד BBB נמצא על ציר ה-xxx.

מצאו את משוואת הצלע BCBCBC.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC ואת שיעורי מרכז המעגל החוסם את המשולש ABCABCABC, וחשבו את המרחק בין מרכזי שני המעגלים.

שאלה 5 · מרחק נקודה מישרשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(2,1)A(2,1)A(2,1) ו-B(8,9)B(8,9)B(8,9). הנקודה CCC נמצאת על ציר ה-xxx, ושטח המשולש ABCABCABC הוא 151515 (ראו סרטוט).
-4-2246810-2246810AB

מצאו את שיעורי כל הנקודות CCC האפשריות.

שאלה 6 · משפחת אליפסות ממיתרי מעגל: פרמטר ושטח משולש מוקדיםשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל I שמשוואתו היא x2−10x+y2+t=0x^2-10x+y^2+t=0x2−10x+y2+t=0. ttt הוא פרמטר קטן מ-25.

א.

הישר y=5−3xy=5-3xy=5−3x משיק למעגל I. מצאו את הערך של ttt.

ב.

הזיזו את מעגל I שמאלה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים O. A היא נקודה על מעגל II, ודרכה מעבירים מיתר AB המאונך לציר ה-yyy. P היא נקודה על המיתר AB כך ש-AB=k⋅POAB=k\cdot POAB=k⋅PO, ו-k≥2k\ge2k≥2 הוא פרמטר.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, והביעו את משוואתה באמצעות kkk.

ג.

K ו-F הם מוקדי האליפסה מסעיף ב, ו-C היא נקודה על האליפסה שאינה על ציר ה-xxx.

הביעו באמצעות kkk את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש CKF.

ד.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם קיימת נקודה C על האליפסה כך ששטח המשולש CKF הוא 1.

ה.

בעבור הערך הגדול ביותר של kkk שמצאתם בסעיף ד, מצאו את שיעורי הנקודות C שבעבורן שטח המשולש CKF הוא 1.

שאלה 7 · מרחק מישרים, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:3x+4y−22=0\ell_1: 3x+4y-22=0ℓ1​:3x+4y−22=0, ℓ2:x=−2\ell_2: x=-2ℓ2​:x=−2.
ℓ1ℓ2
MA

א.

(1)

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את המרחק של נקודה (x,y)(x,y)(x,y) מהישר ℓ1\ell_1ℓ1​ ואת המרחק שלה מהישר ℓ2\ell_2ℓ2​.

(2)

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ב.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​. המעגל משיק לישר ℓ1\ell_1ℓ1​ בנקודה A(2,4)A(2,4)A(2,4), והמרכז M נמצא על הישר y=12x+8y=\frac12x+8y=21​x+8 (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך A ומאונך ל-ℓ1\ell_1ℓ1​.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה M ואת רדיוס המעגל.

ג.

הישר ℓ2\ell_2ℓ2​ הוא המדריך של הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x.

הראו כי A נמצאת על הפרבולה, ובדקו אם הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ משיק לפרבולה בנקודה A.

ד.

מעגל משיק לפרבולה בשתי נקודות שאחת מהן היא A. הסבירו מדוע מרכזו על ציר ה-xxx, ומצאו את משוואתו.

שאלה 8 · מרחק נקודה מישרשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=tx=tx=t, כאשר t>0t>0t>0.

א.

הביעו באמצעות ttt את משוואת המשיק, ורשמו אותה בצורה Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0.

ב.

נתון כי מרחק ראשית הצירים מהמשיק הוא 41717\frac{4\sqrt{17}}{17}17417​​. מצאו את כל הערכים האפשריים של ttt.

שאלה 9 · אליפסה לא ידועה, משיק וריבוע שמרכזו בקודקודשאלה מלאה · קשה

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x2a2+y2144=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{144}=1a2x2​+144y2​=1, a>12a>12a>12. הנקודה FFF היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה FFF והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-xxx. הנקודה BBB היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-yyy, והנקודה DDD היא נקודת החיתוך של הקטע BFBFBF עם המעגל. נתון: BD:DF=4:1BD:DF=4:1BD:DF=4:1.

א.

מצאו את הערך של aaa ואת משוואת המעגל.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD ואת משוואת המשיק למעגל בנקודה DDD.

ג.

בונים ריבוע שהנקודה BBB היא נקודת המפגש של אלכסוניו, ואחת מצלעותיו נמצאת על המשיק שמצאתם בסעיף ב.

מצאו את משוואות הישרים שעליהם נמצאות ארבע הצלעות של הריבוע.

ד.

האם מרכז האליפסה O(0,0)O(0,0)O(0,0) נמצא בתוך הריבוע? האם המוקד השמאלי של האליפסה נמצא בתוך הריבוע? נמקו.

שאלה 10 · מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה ומקום גאומטרישאלה מלאה · קלה

נתון מעוין ABCDABCDABCD שאלכסוניו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. הקודקודים: A(10,0)A(10,0)A(10,0), B(0,5)B(0,5)B(0,5), C(−10,0)C(-10,0)C(−10,0), D(0,−5)D(0,-5)D(0,−5).
ABCDxy

א.

מצאו את משוואת הצלע ABABAB ואת המרחק של הצלע ABABAB מראשית הצירים.

ב.

בתוך המעוין חסום מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

הנקודה MMM היא נקודת ההשקה של המעגל והצלע ABABAB. MMM היא עקב האנך מראשית הצירים לצלע ABABAB.

מצאו את שיעורי הנקודה MMM.

ד.

מן הנקודה MMM מורידים אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה K(a,0)K(a,0)K(a,0). על הישר x=−ax=-ax=−a מסמנים נקודה EEE ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-xxx. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע EKEKEK בנקודה GGG.

הסבירו מדוע הנקודה GGG נמצאת במרחק שווה מהנקודה KKK ומהישר x=−ax=-ax=−a, ומצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות GGG.

ה.

הנקודה NNN נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף ד, ושיעור ה-xxx שלה הוא 10.

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו NNN והוא משיק מבחוץ למעגל החסום במעוין.

עוד 21 שאלות על מרחק נקודה מישר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע משיקה ומרחק בין מרכזי המעגלים (שאלה מלאה · בינונית)
מעגל שמרכזו בנקודה $M$ חסום במשולש $ABC$ . הצלע $AB$ נמצאת על הישר $x+3y+5=0$ והצלע $AC$ נמצאת על הישר $3x-y-15=0$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על…
נקודה על ישר שבעבורה למשולש שטח נתון (שאלה קצרה · קשה)
נתונות הנקודות $K(4,1)$ ו- $L(-2,4)$ , ונתון הישר $y=2x+1$ . הנקודה $M$ נמצאת על הישר הנתון ומעל הישר $KL$ , ושטח המשולש $KLM$ הוא 9.
אליפסה, מעגל במוקד השמאלי ומשיק - בלי פרמטר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ . הנקודה $F$ היא המוקד השמאלי של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה $F$ והוא עובר…
חוצי זווית ומעגלים המשיקים לישרים ולפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 5y-12x+140=0$ , $\ell_2: x=-5$ .
צלע של מעוין המשיקה למעגל חסום ועוברת דרך נקודה נתונה (שאלת ביניים · קשה)
נתון מעוין $ABCD$ שאלכסוניו מונחים על הצירים: הקודקוד $A$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ והקודקוד $B$ על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המעגל…
פרבולה, משיק ומעגל שמרכזו במוקד (מספרים נתונים) (שאלה מלאה · קלה)
נתון הישר $y=2x$ ונתונה הפרבולה $y^2=8x$ . הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר. נסמן ב- $\ell$ את המשיק לפרבולה…
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-4)^2+(y-1)^2=4$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+2)^2+(y-4)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על…
אורך גובה במשולש כמרחק של קודקוד מישר (שאלה קצרה · קלה)
קודקודי משולש $ABC$ הם $A(1,2)$ , $B(5,5)$ ו- $C(2,6)$ (ראו סרטוט).
מרחק נקודה מישר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $K(0,1)$ ו- $L(6,-2)$ , ונתון הישר $\ell$ : $y=2x+3$ . הנקודה M נמצאת על הישר $\ell$ ומתחת לישר KL, ושטח המשולש KLM הוא 9.
מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה, מקום גאומטרי פרבולה ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון $BD$ הוא 20. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין…
מרחק נקודה מישר (שאלה קצרה · בינונית)
הישר $\ell$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(6,0)$ ואת החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המרחק של הישר $\ell$ מראשית הצירים הוא $4.8$ .
מעגל עם פרמטר, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו היא $x^2+y^2-8y+t=0$ . $t$ הוא פרמטר קטן מ-16.
מעגל עם פרמטר שמרכזו מחוץ לצירים, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו היא $x^2+10x+y^2-10y+t=0$ . $t$ הוא פרמטר קטן מ-50.
אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 4:1 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{9k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…
מרחק נקודה מישר (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הישר $3x-4y+6=0$ . ריבוע שאורך צלעו 10 בנוי כך שאחת מצלעותיו נמצאת על הישר הנתון. נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע נמצאת על הישר $y=2x$ ,…
אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע - יחס 5:8 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{169k^2}+\frac{y^2}{144k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל…
פרבולה וישר $y = 2 x$ : מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=2x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
פרבולה וישר שאינו עובר בראשית: מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=x-1.5p$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
אליפסה, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(4,3)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(\sqrt{52},0)$ .
אליפסה שמוקדיה על ציר ה-y, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(-3,6)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד העליון של האליפסה הם $(0,\sqrt{132})$ .
ישר דרך הראשית שמרחקיו משתי נקודות שווים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הנקודות $A(2,3)$ ו- $B(-4,-5)$ . הישר $\ell$ עובר דרך ראשית הצירים, ושיפועו $m$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל חסום במשולש: מרכז על ישר נתון, צלע משיקה ומרחק בין מרכזי המעגלים · בגרות 572 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
מעגל שמרכזו בנקודה $M$ חסום במשולש $ABC$ . הצלע $AB$ נמצאת על הישר $2x+y-13=0$ והצלע $AC$ נמצאת על הישר $-x+2y+4=0$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על הישר $y=x-1$ . ראשית…
חוצי זווית, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 4y-3x-20=0$ , $\ell_2: x=-4$ .
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-3)^2+(y-4)^2=9$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+5)^2+(y-2)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B…
מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה, מקום גאומטרי פרבולה ומעגלים משיקים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
נתון מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון $AC$ הוא 10. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין מראשית הצירים הוא…
מעגל עם פרמטר, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
נתון מעגל I שמשוואתו היא $x^2-6x+y^2+t=0$ . $t$ הוא פרמטר קטן מ-9.
אליפסה, מעגל במוקד, משיק וריבוע שצלעו על המשיק · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה היא $\frac{x^2}{25k^2}+\frac{y^2}{16k^2}=1$ . $k$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $F$ היא המוקד הימני של האליפסה. נתון מעגל שמרכזו בנקודה $F$ והוא…
פרבולה, משיק ומעגל שמרכזו במוקד: מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
נתון הישר $y=x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
אליפסה, מקום גאומטרי של אמצעי קטעים ומעגל המשיק לשני ישרים מקבילים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(2,6)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(\sqrt{25.6},0)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מעגל במערכת צירים: משולש חסום ושטח מקסימלי על קשת (שאלה מלאה · קלה)
במעגל חסום משולש חד-זווית $ABC$ . נתון: $A(-7,8)$ , $B(1,14)$ . מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $y$ . המעגל חותך את…