דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה (מבט מאחד על חתכי החרוט), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולהשאלה קצרה · קלה

על המעגל x2+y2=16x^2+y^2=16 מפעילים העתקה: מכווצים אותו פי 22 במקביל לציר ה-xx (כל שיעור xx מוכפל ב-12\frac12) ומותחים אותו פי 1.51.5 במקביל לציר ה-yy (כל שיעור yy מוכפל ב-1.51.5).

מצאו את משוואת העקום המתקבל, זהו אותו, ומצאו את המרחק בין מוקדיו.

שאלה 2 · אליפסה: מקום גאומטרי של מעגל, כיווץ לאליפסה ומשולש מקסימלישאלה מלאה · קלה

נתונה האליפסה x225+y216=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1. נסמן את המוקד השמאלי שלה ב-F1F_1 ואת המוקד הימני ב-F2F_2. נקודה E היא נקודה כלשהי על האליפסה. מחברים את F1F_1 עם E וממשיכים את הקו הישר עד לנקודה M (ראו סרטוט), כך שמתקיים EM=EF2EM=EF_2.

F₁F₂EM
א.

מצאו את שיעורי המוקדים F1F_1 ו-F2F_2.

ב.
(1)

הראו כי לכל מיקום של הנקודה E על האליפסה מתקיים F1M=10F_1M=10.

(2)

היעזרו בסעיף ב(1) והסבירו מדוע כל הנקודות M נמצאות על מעגל, ורשמו את משוואתו.

ג.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב(2) ימינה ב-3 יחידות. אחר כך מכפילים ב-45\frac45 את שיעור ה-yy של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל שהתקבל. זהו את צורת העקום החדש, ומצאו את משוואתו.

ד.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם נקודות החיתוך של העקום החדש עם ציר ה-xx, והקודקוד השלישי נמצא על העקום החדש. היעזרו בכך שהבסיס של המשולש קבוע, ומצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש.

שאלה 3 · כיווץ והזזה של היפרבולה: מה עובר לקודקודים ומה למוקדיםשאלת ביניים · בינונית

נתונה ההיפרבולה x216−y29=1\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1. מבצעים עליה שתי פעולות, זו אחר זו: מכפילים את שיעור ה-yy של כל נקודה שעליה במספר kk (k>0k>0), ואחר כך מזיזים את העקום המתקבל 11 יחידה שמאלה ו-22 יחידות למעלה. העקום שמתקבל בסוף עובר דרך הנקודה (4,5)(4,5).

א.

מצאו את kk ואת משוואת העקום שמתקבל בסוף.

ב.

זהו את העקום שמצאתם בסעיף א, ומצאו את מרכזו, את קודקודיו, את מוקדיו ואת משוואות האסימפטוטות שלו.

ג.

מפעילים את אותן שתי פעולות, באותו סדר, על הקודקודים ועל המוקדים של ההיפרבולה הנתונה. האם מתקבלים הקודקודים של העקום מסעיף ב? האם מתקבלים המוקדים שלו? נמקו.

שאלה 4 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולציריםשאלה מלאה · בינונית

נתונות הנקודות: A(0,−8)A(0,-8), B(12,0)B(12,0).

F₁F₂EG
א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות CC המקיימות: AC2+BC2=392AC^2+BC^2=392.

ב.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א מזיזים 6 יחידות שמאלה ו-4 יחידות למעלה כך שמתקבל מקום גאומטרי חדש. המקום הגאומטרי החדש חותך את ציר ה-yy בנקודות EE ו-GG (EE מעל GG). הנקודות F1F_1 ו-F2F_2 הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך הנקודות EE ו-GG, כמתואר בסרטוט. נתון: המרחק בין הישרים EF1EF_1 ו-GF2GF_2 הוא 19.2.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה F1F_1.

(2)

מצאו את משוואת האליפסה.

ג.

העבירו מעגלים המשיקים לישר EF1EF_1, לציר ה-xx ולציר ה-yy.

מצאו משוואות של שני מעגלים כאלה הנמצאים ברביעים שונים.

שאלה 5 · אמצע הקטע בין נקודה על מעגל להיטלה: כיווץ של מעגל מוזזשאלה קצרה · קשה

הנקודה AA נעה על המעגל (x−2)2+y2=16(x-2)^2+y^2=16. הנקודה BB היא ההיטל של AA על ציר ה-yy, ו-MM היא אמצע הקטע ABAB.

הראו כי המקום הגאומטרי של הנקודה MM הוא אליפסה, ומצאו את משוואתה.

שאלה 6 · מעגל מוזז ומכווץ לאליפסה שמוקדיה נתונים: היקף ושטח מרבי של משולששאלת ביניים · קשה

נתונה האליפסה x218+y29=1\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1, ונתון המעגל (x+3)2+y2=72(x+3)^2+y^2=72.

א.

מזיזים את המעגל הנתון ימינה ב-3 יחידות. אחר כך מכפילים את שיעור ה-yy של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל שהתקבל במספר kk, 0<k<10<k<1, ומתקבלת אליפסה. ידוע כי המוקדים של האליפסה שהתקבלה הם הקודקודים של האליפסה הנתונה שעל ציר ה-xx. מצאו את kk ואת משוואת האליפסה שהתקבלה.

ב.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם המוקדים של האליפסה שמצאתם בסעיף א, והקודקוד השלישי P נמצא על האליפסה הזאת (ולא על ציר ה-xx). הוכיחו כי היקף המשולש אינו תלוי במיקום של P, ומצאו אותו.

ג.

מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש מסעיף ב.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.