שאלות פתוחות: הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות מבקשות למצוא את משוואת העקום אחרי מתיחה במקביל לציר והזזה, להפוך מעגל לאליפסה, למתוח היפרבולה כך שהאסימפטוטות ישתנו, ולמצוא את מקום אמצעי הקטעים בין נקודה על מעגל להיטל שלה על ציר. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

24 שאלותקלה: 6בינונית: 13קשה: 5

שאלה 1 · הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולהשאלה קצרה · קלה

מותחים את הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x פי kkk במקביל לציר ה-yyy (k>0k>0k>0, כל שיעור yyy מוכפל ב-kkk), ואחר כך מזיזים את העקום המתקבל יחידה אחת שמאלה. הפרבולה המתקבלת עוברת דרך הנקודה (1,8)(1,8)(1,8).

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את המוקד ואת המדריך של הפרבולה המתקבלת.

שאלה 2 · הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

על מעגל היחידה x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 מבצעים שתי פעולות: מתיחה פי 333 במקביל לציר ה-xxx ופי 222 במקביל לציר ה-yyy, והזזה של 111 יחידה ימינה ו-222 יחידות למטה.

א.

מבצעים קודם את המתיחה ואחר כך את ההזזה. מצאו את משוואת העקום המתקבל, וזהו אותו.

ב.

מבצעים קודם את ההזזה ואחר כך את המתיחה. מצאו את משוואת העקום המתקבל ואת מרכזו.

שאלה 3 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולציריםשאלה מלאה · קשה

נתונות הנקודות: A(0,−16)A(0,-16)A(0,−16), B(10,−4)B(10,-4)B(10,−4). המקום הגאומטרי של הנקודות CCC המקיימות AC2+BC2=KAC^2+BC^2=KAC2+BC2=K (KKK קבוע) הוא מעגל המשיק לציר ה-xxx.

א.

מצאו את KKK ואת משוואת המקום הגאומטרי.

ב.

את המקום הגאומטרי מזיזים כך שמרכזו עובר לראשית הצירים. המעגל החדש חותך את ציר ה-yyy בנקודות EEE ו-GGG (EEE מעל GGG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0)F1​(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0)F2​(−c,0), c>0c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EEE ו-GGG. נסמן ב-ddd את המרחק בין הישרים EF1EF_1EF1​ ו-GF2GF_2GF2​.
F₁F₂EG

(1)

הביעו את ddd באמצעות ccc.

(2)

מצאו את כל הערכים האפשריים של ddd. נמקו.

נתון: d=12d=12d=12.

(3)

מצאו את משוואת האליפסה.

ג.

מעגל משיק לישר EF1EF_1EF1​, לציר ה-xxx ולציר ה-yyy.

כמה מעגלים כאלה יש? מצאו את משוואותיהם, והסבירו מדוע אין מעגל כזה ברביע השלישי.

שאלה 4 · הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולהשאלה קצרה · קלה

על המעגל x2+y2=16x^2+y^2=16x2+y2=16 מפעילים העתקה: מכווצים אותו פי 222 במקביל לציר ה-xxx (כל שיעור xxx מוכפל ב-12\frac1221​) ומותחים אותו פי 1.51.51.5 במקביל לציר ה-yyy (כל שיעור yyy מוכפל ב-1.51.51.5).

מצאו את משוואת העקום המתקבל, זהו אותו, ומצאו את המרחק בין מוקדיו.

שאלה 5 · הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

הנקודה AAA נעה על המעגל (x−2)2+y2=16(x-2)^2+y^2=16(x−2)2+y2=16. הנקודה BBB היא ההיטל של AAA על ציר ה-yyy, ו-MMM היא אמצע הקטע ABABAB.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של הנקודה MMM הוא אליפסה, ומצאו את משוואתה.

ב.

מצאו את מוקדי האליפסה.

שאלה 6 · אליפסה: מקום גאומטרי, מקדם כיווץ לפי מוקדים והיקף קבועשאלה מלאה · קשה

נתונה אליפסה שמשוואתה x218+y2b2=1\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{b^2}=118x2​+b2y2​=1, bbb הוא פרמטר חיובי, והמוקדים שלה על ציר ה-xxx. נסמן את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה-yyy ב-D1D_1D1​ ו-D2D_2D2​, את המוקד השמאלי ב-F1F_1F1​ ואת המוקד הימני ב-F2F_2F2​. נתון כי המרובע F1D1F2D2F_1D_1F_2D_2F1​D1​F2​D2​ הוא ריבוע.
F₁F₂

א.

מצאו את הערך של bbb ואת שטח הריבוע F1D1F2D2F_1D_1F_2D_2F1​D1​F2​D2​.

ב.

נקודה E היא נקודה כלשהי על האליפסה. ממשיכים את הקטע F1EF_1EF1​E מעבר ל-E עד לנקודה M, כך שמתקיים EM=EF2EM=EF_2EM=EF2​. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של הנקודות M הוא מעגל, ומצאו את משוואתו.

ג.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב ימינה ב-3 יחידות. אחר כך מכפילים את שיעור ה-yyy של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל שהתקבל במספר kkk, 0<k<10<k<10<k<1, ומתקבלת אליפסה. ידוע כי המוקדים של האליפסה שהתקבלה הם הקודקודים של האליפסה הנתונה שעל ציר ה-xxx. מצאו את kkk ואת משוואת האליפסה שהתקבלה.

ד.

(1)

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם המוקדים של האליפסה שמצאתם בסעיף ג, והקודקוד השלישי P נמצא על האליפסה הזאת (ולא על ציר ה-xxx). הוכיחו כי היקף המשולש אינו תלוי במיקום של P, ומצאו אותו.

(2)

מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש מסעיף ד(1).

שאלה 7 · הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולהשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות F1(1,2)F_1(1,2)F1​(1,2) ו-F2(7,2)F_2(7,2)F2​(7,2). הנקודה PPP נעה במישור כך שמתקיים PF1+PF2=10PF_1+PF_2=10PF1​+PF2​=10.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של PPP.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של המקום הגאומטרי עם ציר ה-yyy.

שאלה 8 · הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולהשאלה קצרה · בינונית

מותחים את ההיפרבולה x29−y24=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=19x2​−4y2​=1 פי kkk במקביל לציר ה-yyy (k>0k>0k>0, כל שיעור yyy מוכפל ב-kkk), כך שהאסימפטוטות של ההיפרבולה המתקבלת מאונכות זו לזו.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את המרחק בין מוקדי ההיפרבולה המתקבלת.

שאלה 9 · משפחת אליפסות ממיתרי מעגל: פרמטר ושטח משולש מוקדיםשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל I שמשוואתו היא x2−10x+y2+t=0x^2-10x+y^2+t=0x2−10x+y2+t=0. ttt הוא פרמטר קטן מ-25.

א.

הישר y=5−3xy=5-3xy=5−3x משיק למעגל I. מצאו את הערך של ttt.

ב.

הזיזו את מעגל I שמאלה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים O. A היא נקודה על מעגל II, ודרכה מעבירים מיתר AB המאונך לציר ה-yyy. P היא נקודה על המיתר AB כך ש-AB=k⋅POAB=k\cdot POAB=k⋅PO, ו-k≥2k\ge2k≥2 הוא פרמטר.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, והביעו את משוואתה באמצעות kkk.

ג.

K ו-F הם מוקדי האליפסה מסעיף ב, ו-C היא נקודה על האליפסה שאינה על ציר ה-xxx.

הביעו באמצעות kkk את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש CKF.

ד.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם קיימת נקודה C על האליפסה כך ששטח המשולש CKF הוא 1.

ה.

בעבור הערך הגדול ביותר של kkk שמצאתם בסעיף ד, מצאו את שיעורי הנקודות C שבעבורן שטח המשולש CKF הוא 1.

שאלה 10 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגל המשיק לישר ולציריםשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות: A(0,6)A(0,6)A(0,6), B(8,0)B(8,0)B(8,0).
F₁F₂EG

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות CCC המקיימות: AC2+BC2=122AC^2+BC^2=122AC2+BC2=122.

ב.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א מזיזים 4 יחידות שמאלה ו-3 יחידות למטה. המקום הגאומטרי החדש חותך את ציר ה-yyy בנקודות EEE ו-GGG (EEE מעל GGG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0)F1​(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0)F2​(−c,0), c>0c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EEE ו-GGG (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות EEE ו-GGG, והראו כי משוואת הישר EF1EF_1EF1​ היא 6x+cy−6c=06x+cy-6c=06x+cy−6c=0.

(2)

מצאו את משוואת הישר GF2GF_2GF2​, והסבירו מדוע הוא מקביל לישר EF1EF_1EF1​.

נתון: המרחק בין הישרים EF1EF_1EF1​ ו-GF2GF_2GF2​ הוא 9.6.

(3)

מצאו את ccc ואת משוואת האליפסה.

ג.

מעגל שמרכזו ברביע השני משיק לישר EF1EF_1EF1​, לציר ה-xxx ולציר ה-yyy. נסמן את רדיוסו ב-rrr.

(1)

הסבירו מדוע מרכז המעגל הוא (−r,r)(-r,r)(−r,r).

(2)

מצאו את משוואת המעגל.

עוד 11 שאלות על הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולצירים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות: $A(0,-8)$ , $B(12,0)$ .
אמצע הקטע בין נקודה על מעגל להיטלה: כיווץ של מעגל מוזז (שאלה קצרה · קשה)
הנקודה $A$ נעה על המעגל $(x-2)^2+y^2=16$ . הנקודה $B$ היא ההיטל של $A$ על ציר ה- $y$ , ו- $M$ היא אמצע הקטע $AB$ .
אליפסה: מקום גאומטרי של מעגל, כיווץ לאליפסה ומשולש מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה האליפסה $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ . נסמן את המוקד השמאלי שלה ב- $F_1$ ואת המוקד הימני ב- $F_2$ . נקודה E היא נקודה כלשהי על…
אליפסה ומשולש שווה-צלעות: מקום גאומטרי של מעגל ומתיחה לאליפסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , $b$ הוא פרמטר חיובי. ידוע כי המוקדים של האליפסה נמצאים על ציר ה- $x$ . נסמן את…
מעגל מוזז ומכווץ לאליפסה שמוקדיה נתונים: היקף ושטח מרבי של משולש (שאלת ביניים · קשה)
נתונה האליפסה $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$ , ונתון המעגל $(x+3)^2+y^2=72$ .
מעגל, משיק ואליפסה כמקום גאומטרי (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל I שמשוואתו היא $x^2+4x+y^2-12=0$ .
הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המעגל $(x-3)^2+(y+2)^2=16$ . מזיזים את המעגל 3 יחידות שמאלה ו-2 יחידות למעלה, ומתקבל מעגל אחר. מכפילים ב- $\frac52$ את שיעור ה- $x$ של כל…
הזזות, מתיחה וכיווץ של מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ) הקודקוד $A$ הוא $(3,0)$ , הקודקוד $B$ נמצא על הישר $x=-3$ , והצלע $BC$ מקבילה לציר ה- $x$ .
מעגל עם פרמטר, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו היא $x^2+y^2-8y+t=0$ . $t$ הוא פרמטר קטן מ-16.
מעגל עם פרמטר שמרכזו מחוץ לצירים, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו היא $x^2+10x+y^2-10y+t=0$ . $t$ הוא פרמטר קטן מ-50.
כיווץ והזזה של היפרבולה: מה עובר לקודקודים ומה למוקדים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה ההיפרבולה $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ . מבצעים עליה שתי פעולות, זו אחר זו: מכפילים את שיעור ה- $y$ של כל נקודה שעליה במספר $k$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים המשיקים לישר ולצירים · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
נתונות הנקודות: $A(0,28)$ , $B(16,0)$ .
אליפסה, מקום גאומטרי של מעגל והזזה ומתיחה של עקום · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , $b$ הוא פרמטר חיובי. ידוע כי המוקדים של האליפסה נמצאים על ציר ה- $x$ . נסמן את נקודות החיתוך של האליפסה…
מעגל עם פרמטר, משיק, ומקום גאומטרי שהוא אליפסה · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
נתון מעגל I שמשוואתו היא $x^2-6x+y^2+t=0$ . $t$ הוא פרמטר קטן מ-9.