מבחן לדוגמה: המספר הצמוד וחילוק - כיתה י"ב 5 יח"ל

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $(x,y)$ במישור גאוס המקיימות $|\bar z-4+3i|=5$ הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

הנקודה $M$ היא מרכז המעגל, והנקודה $A$ מיוצגת על ידי $z_A$. נתון: למספרים $z_A$ ו-$z_M$ יש אותו ארגומנט, ו-$|z_A|=2|z_M|$.

הסבירו מדוע $z_A=2z_M$, ומצאו את שיעורי הנקודה $A$.

נתונה סדרה הנדסית: $z_1,z_2,z_3,\ldots$. האיבר הראשון בסדרה מייצג את הנקודה $M$, והאיבר השלישי מייצג את הנקודה $A$.

מצאו את מנת הסדרה (שתי אפשרויות).

הראו כי $z_k\cdot\bar z_k=25\cdot2^{k-1}$, וחשבו את הסכום: $z_1\cdot\bar z_1+z_2\cdot\bar z_2+\ldots+z_8\cdot\bar z_8$.

מצאו הצגה קוטבית של המספר $\frac1w$.

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$, והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac1w$. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים.

מצאו את גודל הזווית $AOB$ ואת שטח המשולש $AOB$.

נתונות שתי משוואות: I. $z^4=w^4$ II. $z^4=(w\cdot\bar w)^2$. $z$ הוא מספר מרוכב.

חשבו את שטח המצולע.

מצאו את כל המספרים המרוכבים $z$ המקיימים $z^2+2\bar z=0$.

מצאו את כל המספרים $z$ המקיימים את התנאים.

הביעו את $z$ באמצעות $w$.

נתון כי $w$ הוא מספר מדומה טהור, $w=ki$, כאשר $k\ne0$ מספר ממשי. הביעו את $z$ בהצגה אלגברית באמצעות $k$, והראו כי $z\cdot\bar z=1$.

מצאו את כל המספרים $z$ שבעבורם $w^2=-3$.

מצאו את $z_2$ ואת פתרונות המשוואה.

נתון מספר מרוכב $z=2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$, $0^\circ\le\theta<360^\circ$, ו-$n\ge2$ מספר טבעי. נתון כי המספרים $z$ ו-$z^n$ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

הביעו באמצעות $n$ את מספר האפשרויות של $z$.

מצאו את הערך הקטן ביותר של $n$ שבעבורו כל פתרונות המשוואה מסעיף א הם בין המספרים $z$ של סעיף ב.

הציבו את הערך של $n$ שמצאתם בסעיף ג. המספרים $z$ של סעיף ב מייצגים את הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

חשבו את שטח המצולע.

מכפילים כל אחד מקודקודי המצולע של סעיף ד במספר המרוכב $u=m(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$, $m>0$, $0^\circ\le\alpha<360^\circ$. מתקבל מצולע ששטחו 108, ואחד מקודקודיו הוא המספר $3\sqrt2+3\sqrt2i$.

מצאו את $m$ ואת כל הערכים האפשריים של $\alpha$.