דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: המספר הצמוד וחילוק - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על המספר הצמוד וחילוק מספרים מרוכבים, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות חישוב מנות כמו 1+7i חלקי 2-i, פישוט חזקות גבוהות של i, משוואה עם z ועם הצמוד שלו, מספר שעבורו ביטוי עם z במכנה הוא ממשי, ומציאת מספר לפי מכפלה נתונה. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

46 שאלותקלה: 12בינונית: 28קשה: 6

שאלה 1 · המספר הצמוד וחילוקשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב z=i35+2i17−1z=\dfrac{i^{35}+2}{i^{17}-1}.

הציגו את zz בצורה a+bia+bi.

שאלה 2 · המספר הצמוד וחילוקשאלה קצרה · בינונית

נתון מספר מרוכב z=a+biz=a+bi (aa, bb ממשיים, b≠0b\ne0). ידוע כי המספר z+4zz+\dfrac4z הוא ממשי, וכי החלק הממשי של z2z^2 שווה ל-22.

מצאו את כל המספרים zz המקיימים את התנאים.

שאלה 3 · מספרים מרוכבים: תנאי עם חזקה כללית ומצולע בן 12 צלעותשאלה מלאה · קשה

נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא −21−12i-21-12i. z1=3−2iz_1=3-2i. נתונה המשוואה w3=z1+z2w^3=z_1+z_2, ww הוא משתנה מרוכב.

א.

מצאו את z2z_2 ואת פתרונות המשוואה.

ב.

נתון מספר מרוכב z=2(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)z=2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ, ו-n≥2n\ge2 מספר טבעי. נתון כי המספרים zz ו-znz^n נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

הביעו באמצעות nn את מספר האפשרויות של zz.

ג.

מצאו את הערך הקטן ביותר של nn שבעבורו כל פתרונות המשוואה מסעיף א הם בין המספרים zz של סעיף ב.

ד.

הציבו את הערך של nn שמצאתם בסעיף ג. המספרים zz של סעיף ב מייצגים את הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

חשבו את שטח המצולע.

ה.

מכפילים כל אחד מקודקודי המצולע של סעיף ד במספר המרוכב u=m(cos⁡α+i⋅sin⁡α)u=m(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), m>0m>0, 0∘≤α<360∘0^\circ\le\alpha<360^\circ. מתקבל מצולע ששטחו 108, ואחד מקודקודיו הוא המספר 32+32i3\sqrt2+3\sqrt2i.

מצאו את mm ואת כל הערכים האפשריים של α\alpha.

שאלה 4 · המספר הצמוד וחילוקשאלה קצרה · קלה

המספר המרוכב zz מקיים את המשוואה 2z+3zˉ=15−2i2z+3\bar z=15-2i.

מצאו את המספר zz.

שאלה 5 · המספר הצמוד וחילוקשאלה קצרה · בינונית

נתון מספר מרוכב z=a+biz=a+bi (aa, bb ממשיים).

מצאו את כל המספרים המרוכבים zz המקיימים z2+2zˉ=0z^2+2\bar z=0.

שאלה 6 · שתי משוואות שורשים: מתי המצולע משוכללשאלה מלאה · קשה

נתון המספר המרוכב w=r(cos⁡θ+isin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\sin\theta), r>0r>0, 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ. נתונות שתי משוואות: I. z6=w6z^6=w^6 II. z6=(w⋅wˉ)3z^6=(w\cdot\bar w)^3. PP הוא המצולע הקמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של שתי המשוואות.

א.

האם כל קודקודי PP נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו.

ב.

חקרו: כמה קודקודים יש ל-PP? (התשובה תלויה ב-θ\theta.)

ג.

מצאו את כל ערכי θ\theta שעבורם PP הוא מצולע משוכלל בן 12 צלעות.

ד.

נתון כי ל-PP יש 12 קודקודים, PP הוא מצולע משוכלל, ושטחו 75.

מצאו את כל המספרים ww האפשריים.

שאלה 7 · המספר הצמוד וחילוקשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב z=1+7i2−iz=\dfrac{1+7i}{2-i}.

הציגו את zz בהצגה אלגברית a+bia+bi.

שאלה 8 · המספר הצמוד וחילוקשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב q=1+3i1−3iq=\dfrac{1+\sqrt3 i}{1-\sqrt3 i}.

א.

הציגו את qq בהצגה אלגברית.

ב.

חשבו את q2026q^{2026}.

שאלה 9 · שורשים של מספר מדומה, ישר דרך הראשית ופרמטרים במישור גאוסשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z3=64iz^3=64i. zz הוא משתנה מרוכב.

א.

מצאו את כל פתרונות המשוואה.

ב.

נתונים שני מספרים מרוכבים: w1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)w_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), w2=2r⋅(cos⁡7α+i⋅sin⁡7α)w_2=2r\cdot(\cos7\alpha+i\cdot\sin7\alpha), 20∘<α<140∘20^\circ<\alpha<140^\circ. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים w1w_1 ו-w2w_2 נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים OO במישור גאוס.

מצאו את כל הערכים האפשריים של α\alpha.

ג.

נתון כי w1w_1 הוא אחד מהפתרונות שמצאתם בסעיף א.

מצאו את הערך של α\alpha ואת הערך של rr.

ד.

נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: w3=k⋅iw_3=k\cdot i, w4=8iw_4=\frac8i, k>0k>0 הוא פרמטר. ABCDABCD הוא מרובע קמור. הקודקוד AA מיוצג על ידי המספר w1w_1, הקודקוד BB מיוצג על ידי המספר w3w_3, הקודקוד CC מיוצג על ידי המספר w2w_2, והקודקוד DD מיוצג על ידי המספר w4w_4. נתון כי שטח המרובע ABCDABCD הוא 36336\sqrt3.

מצאו את הערך של kk.

ה.

uu הוא מספר מרוכב. הנקודה EE, שמיוצגת על ידי המספר uu, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית BOABOA. נתון כי ∣u∣>1|u|>1, uˉ+1u=c(cos⁡300∘+i⋅sin⁡300∘)\bar u+\frac1u=c(\cos300^\circ+i\cdot\sin300^\circ), c>0c>0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו עבור אילו ערכים של cc קיים מספר מרוכב uu כזה. נמקו.

(2)

הציבו c=4.25c=4.25 ומצאו את המספר המרוכב uu.

שאלה 10 · ריבוע במישור גאוס: סיבוב, מתיחה וזיהוי מרובעשאלה מלאה · קלה

נתון המספר המרוכב z1=52−iz_1=\frac{5}{2-i}.

א.

הציגו את z1z_1 בצורה x+iyx+iy, ומצאו את משוואת המעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר בנקודה המייצגת את z1z_1.

ב.

הנקודה המייצגת את z1z_1 היא קודקוד של ריבוע החסום במעגל.

מצאו את שאר קודקודי הריבוע, וחשבו את שטחו.

ג.

מכפילים כל אחד מארבעת המספרים המייצגים את קודקודי הריבוע ב-w=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)w=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ).

מהו סוג המרובע שקודקודיו מיוצגים על ידי ארבע התוצאות? חשבו את שטחו.

ד.

עכשיו מכפילים ב-3 רק את שני המספרים z1z_1 ו-−z1-z_1, ואת שני הקודקודים האחרים של הריבוע מסעיף ב משאירים כמו שהם.

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו, וחשבו את שטחו.

עוד 28 שאלות על המספר הצמוד וחילוק

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. המספר הצמוד וחילוק (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה המשוואה zˉ2+zzˉ=2z+4−6i\bar z^2+z\bar z=2z+4-6i, zz הוא מספר מרוכב.

  2. מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)

    נתון מספר מרוכב w=r(cos⁡θ+isin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\sin\theta), 0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ, r>0r>0. מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה…

  3. מספרים צמודים וחזקות בדה-מואבר: שלבים מודרכים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=(a−3)+(a−1)iz_1=(a-3)+(a-1)i, z2=(1−a)+(3−2a)iz_2=(1-a)+(3-2a)i. aa הוא פרמטר ממשי.

  4. מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=(a2−2a+1)3+(a2−3)iz_1=(a^2-2a+1)\sqrt3+(a^2-3)i z2=(3a−5)3+(1−a)iz_2=(3a-5)\sqrt3+(1-a)i aa הוא פרמטר ממשי.

  5. מספר מרוכב שסכומו עם מנה הוא ממשי (שאלה קצרה · קשה)

    נתון מספר מרוכב z=a+biz=a+bi (aa, bb ממשיים, b≠0b\ne0). ידוע כי המספר z+4zz+\dfrac4z הוא ממשי, וכי החלק הממשי של z2z^2 שווה ל-22.

  6. מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, שני מעגלים וחיתוך עם ישר (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה המשוואה: z2=−3+4iz^2=-3+4i, zz הוא מספר מרוכב.

  7. המספר הצמוד וחילוק (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים המספרים z1=(a2−2a)+(a2+2a−5)iz_1=(a^2-2a)+(a^2+2a-5)i ו-z2=(a+4)+(2a+8)iz_2=(a+4)+(2a+8)i, כאשר aa פרמטר ממשי.

  8. המנה (z−1)/(z+1): מדומה טהור והמכפלה z·z̄ (שאלת ביניים · קשה)

    zz הוא מספר מרוכב, z≠−1z\ne-1. נסמן w=z−1z+1w=\dfrac{z-1}{z+1}.

  9. מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)

    z=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xx ו-yy הם מספרים ממשיים).

  10. מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, מקומות גאומטריים מעגליים ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: (z−i)2−3−4i=0(z-i)^2-3-4i=0, zz הוא מספר מרוכב.

  11. מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכלל (שאלה מלאה · קלה)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא 17. z1=−4+iz_1=-4+i.

  12. מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי משוואה (שאלה מלאה · בינונית)

    במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב zz מייצג…

  13. הופכי של מספר מרוכב ומתומן משוכלל (שאלה מלאה · קלה)

    נתון המספר המרוכב w=2(cos⁡135∘+isin⁡135∘)w=2(\cos135^\circ+i\sin135^\circ).

  14. מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)

    z=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xx ו-yy הם מספרים ממשיים).

  15. שורשים מסדר 3, ישר דרך הראשית ושטח מרובע (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה המשוואה: z3=−27z^3=-27. zz הוא משתנה מרוכב.

  16. המספר הצמוד וחילוק (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים שבה z1=1+2iz_1=1+2i והמנה היא q=1+iq=1+i.

  17. מספרים מרוכבים: פרבולה, הופכי, שורשים ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)

    נתון מספר מרוכב w=r(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ), r>0r>0.

  18. מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא 19+4i19+4i. z1=3+2iz_1=3+2i.

  19. מציאת מספר מרוכב מתוך מנה נתונה (שאלה קצרה · קלה)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2, שהמנה שלהם היא z1z2=−3−2i\frac{z_1}{z_2}=-3-2i. z1=−5+iz_1=-5+i.

  20. מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולע (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2, שהמנה שלהם היא z1z2=−3−2i\frac{z_1}{z_2}=-3-2i. z1=−5+iz_1=-5+i.

  21. מספר מרוכב והופכי שלו, מצולע משוכלל בן 12 צלעות (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון המספר המרוכב w=r(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), r>0r>0, 270∘<θ<360∘270^\circ<\theta<360^\circ.

  22. מספר מרוכב ו-i/w, שתי משוואות עם פתרונות משותפים ומתומן לא משוכלל (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון המספר המרוכב w=r(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), r>0r>0, 45∘<θ<135∘45^\circ<\theta<135^\circ.

  23. שורשים מסדר 4, נקודות על ישר דרך הראשית ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: z4=−81z^4=-81. zz הוא משתנה מרוכב.

  24. שורשים שלישיים של 2-2i, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: z3=2−2iz^3=2-2i. zz הוא משתנה מרוכב.

  25. מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z−2∣=z+zˉ2+2|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

  26. מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z∣=z−zˉ2i+4|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

  27. פרמטר שבעבורו שני מספרים מרוכבים צמודים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=(a2−2a+1)3+(a2−3)iz_1=(a^2-2a+1)\sqrt3+(a^2-3)i z2=(3a−5)3+(1−a)iz_2=(3a-5)\sqrt3+(1-a)i aa הוא פרמטר ממשי.

  28. חילוק עם פרמטר, תנאי על החלקים וחילוק בצמוד (שאלת ביניים · בינונית)

    נתון המספר המרוכב u=a+5i2−iu=\dfrac{a+5i}{2-i}, כאשר aa מספר ממשי.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.