מבחן לדוגמה: משוואות ריבועיות עם פתרונות מרוכבים - כיתה י"ב 5 יח"ל

פתרו את המשוואה $z^2+4z+13=0$.

פתרו את המשוואה $2z^2+2z+5=0$.

הוכיחו כי: $q=z_1$ או $q=-z_1$.

הראו כי המספרים $\frac{z_1}{2}, \frac{z_2}{2^2}, \ldots, \frac{z_8}{2^8}$ הם איברים של סדרה הנדסית, ומצאו את סכומם.

מצאו את $a$ ואת $b$.

הראו כי גם $\bar z_1=1-2i$ הוא פתרון של המשוואה.

מצאו את הפתרון השלישי של המשוואה.

הביעו באמצעות $x$ ו-$y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$.

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2+z(3-3i)-9i=0$. A ו-B הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה.

הראו כי הנקודות A ו-B נמצאות על המקום הגיאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודות C ו-D נמצאות על הצירים כך ש-ABCD הוא ריבוע. סובבו את הריבוע ABCD סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^\circ\le\alpha\le90^\circ$). כל שמונה הנקודות (הנקודות A, B, C, D וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n=b$ שבה $n$ הוא מספר טבעי ו-$b$ הוא מספר ממשי.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $m$.

מצאו את שני פתרונות המשוואה.

מצאו את $c$.

מוסיפים לאיבר החופשי מספר ממשי $t$, ומתקבלת המשוואה $z^2-(1+3i)z+c+t=0$. מצאו את $t$ שבעבורו למשוואה החדשה יש פתרון ממשי, ומצאו את שני הפתרונות שלה.