שאלות פתוחות: משוואות ריבועיות עם פתרונות מרוכבים - כיתה י"ב 5 יח"ל

הוכיחו כי: $q=z_1$ או $q=-z_1$.

הראו כי המספרים $\frac{z_1}{2}, \frac{z_2}{2^2}, \ldots, \frac{z_8}{2^8}$ הם איברים של סדרה הנדסית, ומצאו את סכומם.

מצאו את $a$ ואת שני פתרונות המשוואה.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $m$.

פתרו את המשוואה.

A ו-B הן הנקודות המייצגות את הפתרונות. הראו כי A ו-B הן שני קודקודים סמוכים של ריבוע שמרכזו בראשית הצירים, ומצאו את שני הקודקודים האחרים C ו-D של הריבוע.

הראו כי כל ארבעת קודקודי הריבוע הם פתרונות של המשוואה $z^4=16$.

סובבו את הריבוע סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $45^\circ$. מצאו את ארבעת הקודקודים החדשים בהצגה קוטבית, ומצאו מספר ממשי $b$ כך שכל שמונה הנקודות (הקודקודים לפני הסיבוב ואחריו) הן פתרונות של המשוואה $z^8=b$.

הוכיחו כי: $q=i\cdot z_1$ או $q=-i\cdot z_1$.

מצאו את $z_1$.

קבעו בעבור כל אחד מן האיברים אם הוא מדומה או ממשי. נמקו את קביעותיכם.

מצאו את ערך הסכום: $\frac{z_1}{2}+\frac{z_2}{2^2}+\frac{z_3}{2^3}+\ldots+\frac{z_{48}}{2^{48}}$.

הוכיחו כי: $q=z_1$ או $q=-z_1$.

מצאו את $z_1$.

מצאו את כל המספרים הטבעיים $m$ שעבורם $z_m$ ממשי, ואת כל המספרים הטבעיים $m$ שעבורם $z_m$ מדומה.

נסמן $w_m=\frac{z_m}{(\sqrt3)^m}$, ו-$S_N=w_1+w_2+\ldots+w_N$.

מצאו את כל הערכים של $N$ שעבורם $S_N=0$.

מצאו את הערך הגדול ביותר של $|S_N|$, ואת כל ה-$N$ שעבורם הוא מתקבל.

פתרו את המשוואה $z^2+4z+13=0$.

פתרו את המשוואה $2z^2+2z+5=0$.

הביעו באמצעות $x$ ו-$y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$.

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2+z(3-3i)-9i=0$. A ו-B הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה.

הראו כי הנקודות A ו-B נמצאות על המקום הגיאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודות C ו-D נמצאות על הצירים כך ש-ABCD הוא ריבוע. סובבו את הריבוע ABCD סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^\circ\le\alpha\le90^\circ$). כל שמונה הנקודות (הנקודות A, B, C, D וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n=b$ שבה $n$ הוא מספר טבעי ו-$b$ הוא מספר ממשי.

A ו-B הן הנקודות המייצגות את פתרונות המשוואה. הראו כי A ו-B הן קודקודים סמוכים של ריבוע ABCD שמרכזו בראשית הצירים, ומצאו את הקודקודים C ו-D.

סובבו את הריבוע סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$. כל שמונה הנקודות (הקודקודים לפני הסיבוב ואחריו) הן פתרונות של המשוואה $z^{12}=b$, ו-$b$ ממשי. מצאו את כל הערכים האפשריים של $\alpha$, ואת $b$.

מצאו את הערך הקטן ביותר של $n$ שבעבורו כל שמונה הנקודות המתקבלות בסיבוב בזווית $\alpha=24^\circ$ הן פתרונות של משוואה $z^n=b$ עם $b$ ממשי, ומצאו את $b$.

בעבור $\alpha=24^\circ$, מצאו את כל ערכי $n$ שבעבורם קיימת משוואה $z^n=b$ שכל שמונה הנקודות הן פתרונותיה ו-$b$ חיובי.

פתרו את המשוואה.

הראו כי הנקודות המייצגות את שני הפתרונות נמצאות על הישר $x+y=2$.