מבחן לדוגמה: הצגה גרפית במישור גאוס - כיתה י"ב 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל

הצגה גרפית במישור גאוס

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · קלה

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים).

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות במישור גאוס המייצגות את המספרים zzz המקיימים z2+zˉ2=0z^2+\bar z^2=0z2+zˉ2=0.

שאלה 2 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

(1)

כתבו את z2z^2z2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1|∣z2+5∣=∣z2−1∣ היא y2−x2=2y^2-x^2=2y2−x2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16z4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alphaw=r⋅cisα, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ0<α<90∘. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר www, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1r=1, ומצאו את www.

שאלה 3 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=3+23iz=3+2\sqrt3iz=3+23​i. www הוא מספר ממשי. הנקודות המייצגות במישור גאוס את zzz, את zˉ\bar zzˉ ואת www הן קודקודים של משולש שווה-צלעות.

מצאו את כל הערכים האפשריים של www.

שאלה 4 · מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולעשאלה מלאה · בינונית

נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​, שהמנה שלהם היא z1z2=−3−2i\frac{z_1}{z_2}=-3-2iz2​z1​​=−3−2i. z1=−5+iz_1=-5+iz1​=−5+i.

א.

מצאו את המספר z2z_2z2​.

ב.

נתונה המשוואה w4=z1+z2w^4=z_1+z_2w4=z1​+z2​, www הוא משתנה מרוכב.

מצאו את פתרונות המשוואה.

ג.

נתון מספר מרוכב z=2(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)z=\sqrt2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)z=2​(cosθ+i⋅sinθ), 0∘≤θ<180∘0^\circ\le\theta<180^\circ0∘≤θ<180∘. נתון כי המספרים zzz ו-zˉ3\bar z^3zˉ3 נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

מצאו את ארבע האפשרויות של המספר zzz.

ד.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

(1)

סרטטו את המצולע במערכת צירים.

(2)

חשבו את השטח של המצולע.

ה.

מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר המרוכב 1+2i1+2i1+2i, כך שנוצר מצולע חדש.

מצאו פי כמה גדול שטח המצולע החדש משטח המצולע שמצאתם בסעיף ד.

שאלה 5 · המשולש שקודקודיו 0, z ו-z²: מתי הזווית ב-z ישרהשאלת ביניים · קשה

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב שאינו ממשי (xxx ו-yyy ממשיים, y≠0y\ne0y=0). במישור גאוס הנקודות OOO, AAA ו-BBB מייצגות את המספרים 000, zzz ו-z2z^2z2 בהתאמה.

א.

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את שיעורי הנקודה BBB ואת רכיבי הווקטור AB→\overrightarrow{AB}AB.

ב.

הוכיחו כי הזווית OABOABOAB ישרה אם ורק אם x=1x=1x=1. תארו את קבוצת כל הנקודות AAA שעבורן הזווית OABOABOAB ישרה.

ג.

מצאו את המספרים zzz שעבורם המשולש OABOABOAB הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים, שהזווית הישרה שלו בקודקוד AAA, וחשבו את שטחו.

שאלה 6 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועיםשאלה מלאה · קשה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64. נתונה משוואה II: (z−c)6=−64(z-c)^6=-64(z−c)6=−64, כאשר ccc הוא מספר מרוכב קבוע ו-zzz מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הסבירו מדוע לכל ccc הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל, ומצאו את מרכז המשושה ואת אורך צלעו.

(2)

ידוע כי z=0z=0z=0 ו-z=23z=2\sqrt3z=23​ הם פתרונות של משוואה II. מצאו את כל הערכים האפשריים של ccc.

ג.

(1)

הציבו את הערך של ccc שהחלק המדומה שלו חיובי. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II, ומצאו את משוואת המעגל שעליו הם נמצאים.

(2)

הפתרונות של משוואה II שהנקודות המייצגות אותם נמצאות על צירי מישור גאוס הם קודקודים של משולש. מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המשולש.

שאלה 1 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולעשאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · המשולש שקודקודיו 0, z ו-z²: מתי הזווית ב-z ישרהשאלת ביניים · קשה

שאלה 6 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועיםשאלה מלאה · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד