שאלות פתוחות: הצגה גרפית במישור גאוס - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הצגה גרפית של מספרים מרוכבים במישור גאוס, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מספר שתלוי בפרמטר ושאלה מתי הוא נמצא על ציר או ברביע מסוים, משולש שקודקודיו z, הצמוד שלו ומספר ממשי, נקודות שמייצגות פתרונות של משוואה, ותיאור קבוצות נקודות במישור. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

23 שאלותקלה: 7בינונית: 13קשה: 3

שאלה 1 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · קלה

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים).

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות במישור גאוס המייצגות את המספרים zzz המקיימים z2+zˉ2=0z^2+\bar z^2=0z2+zˉ2=0.

שאלה 2 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=(a2−3a)+(a2−a−6)iz=(a^2-3a)+(a^2-a-6)iz=(a2−3a)+(a2−a−6)i, כאשר aaa מספר ממשי.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם הנקודה המייצגת את zzz במישור גאוס נמצאת ברביע הרביעי.

שאלה 3 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · קשה

zzz הוא מספר מרוכב השונה מאפס.

מצאו את קבוצת כל הנקודות במישור גאוס המייצגות מספרים zzz המקיימים zzˉ=zˉz\dfrac{z}{\bar z}=\dfrac{\bar z}{z}zˉz​=zzˉ​.

שאלה 4 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · קלה

zzz הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה z2−(3+i)z+2+2i=0z^2-(3+i)z+2+2i=0z2−(3+i)z+2+2i=0.

א.

פתרו את המשוואה.

ב.

הנקודות AAA ו-BBB מייצגות במישור גאוס את z1z_1z1​ ואת z2z_2z2​, ו-OOO היא ראשית הצירים. הראו כי המשולש OABOABOAB ישר-זווית, וציינו באיזה קודקוד הזווית הישרה.

שאלה 5 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=3+23iz=3+2\sqrt3iz=3+23​i. www הוא מספר ממשי. הנקודות המייצגות במישור גאוס את zzz, את zˉ\bar zzˉ ואת www הן קודקודים של משולש שווה-צלעות.

מצאו את כל הערכים האפשריים של www.

שאלה 6 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועיםשאלה מלאה · קשה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64. נתונה משוואה II: (z−c)6=−64(z-c)^6=-64(z−c)6=−64, כאשר ccc הוא מספר מרוכב קבוע ו-zzz מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הסבירו מדוע לכל ccc הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל, ומצאו את מרכז המשושה ואת אורך צלעו.

(2)

ידוע כי z=0z=0z=0 ו-z=23z=2\sqrt3z=23​ הם פתרונות של משוואה II. מצאו את כל הערכים האפשריים של ccc.

ג.

(1)

הציבו את הערך של ccc שהחלק המדומה שלו חיובי. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II, ומצאו את משוואת המעגל שעליו הם נמצאים.

(2)

הפתרונות של משוואה II שהנקודות המייצגות אותם נמצאות על צירי מישור גאוס הם קודקודים של משולש. מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המשולש.

שאלה 7 · הצגה גרפית במישור גאוסשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס, הנקודות OOO, AAA ו-BBB מייצגות את המספרים 000, 4+2i4+2i4+2i ו-−2+4i-2+4i−2+4i (ראו שרטוט).
-3-2-112345-112345OAB

א.

הראו כי המשולש OABOABOAB ישר-זווית ושווה-שוקיים.

ב.

משלימים את המשולש לריבוע OACBOACBOACB. מצאו את המספר המרוכב המייצג את הקודקוד CCC, וחשבו את שטח הריבוע.

שאלה 8 · מקום גאומטרי של z², שורשים מסדר שלישי ומשולש מסובבשאלה מלאה · בינונית

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

(1)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות: ∣z2−6∣=∣z2+2∣|z^2-6|=|z^2+2|∣z2−6∣=∣z2+2∣, היא: x2−y2=2x^2-y^2=2x2−y2=2.

(2)

תנו דוגמה למספר מרוכב הנמצא על המקום הגאומטרי הזה.

ב.

פתרו את המשוואה: z3=8z^3=8z3=8.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של מצולע I. המקום הגאומטרי שמצוין בתת סעיף א(1) חותך ברביע הראשון את המעגל החוסם את מצולע I בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

הנקודה A היא קודקוד של מצולע משוכלל אחר החסום באותו מעגל, מצולע II. נתון: מספר הקודקודים של מצולע II שווה למספר הקודקודים של מצולע I.

מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של מצולע II.

ה.

נסמן: w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alphaw=r⋅cisα, 0<α<120∘0<\alpha<120^\circ0<α<120∘. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I במספר www, כך שקודקודי מצולע I מתלכדים עם קודקודי מצולע II.

מצאו את www.

שאלה 9 · המשולש שקודקודיו 0, z ו-z²: מתי הזווית ב-z ישרהשאלת ביניים · קשה

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב שאינו ממשי (xxx ו-yyy ממשיים, y≠0y\ne0y=0). במישור גאוס הנקודות OOO, AAA ו-BBB מייצגות את המספרים 000, zzz ו-z2z^2z2 בהתאמה.

א.

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את שיעורי הנקודה BBB ואת רכיבי הווקטור AB→\overrightarrow{AB}AB.

ב.

הוכיחו כי הזווית OABOABOAB ישרה אם ורק אם x=1x=1x=1. תארו את קבוצת כל הנקודות AAA שעבורן הזווית OABOABOAB ישרה.

ג.

מצאו את המספרים zzz שעבורם המשולש OABOABOAB הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים, שהזווית הישרה שלו בקודקוד AAA, וחשבו את שטחו.

שאלה 10 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

(1)

כתבו את z2z^2z2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1|∣z2+5∣=∣z2−1∣ היא y2−x2=2y^2-x^2=2y2−x2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16z4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alphaw=r⋅cisα, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ0<α<90∘. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר www, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1r=1, ומצאו את www.

עוד 9 שאלות על הצגה גרפית במישור גאוס

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה משוואה I: $w^6=64$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
שורשים מסדר 6 והזזה: מעגל, דלתון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה משוואה I: $w^6=-64$ , ונתונה משוואה II: $(z-i)^6=-64$ , כאשר $w$ ו- $z$ הם מספרים מרוכבים.
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא 17. $z_1=-4+i$ .
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית ומשולש שווה צלעות מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-1+\sqrt3i)|$ .
משולש ישר-זווית שקודקודיו מייצגים פתרונות של משוואה (שאלה קצרה · קלה)
$z$ הוא משתנה מרוכב. פתרונות המשוואה $z^2-(3+i)z+2+2i=0$ הם $z_1=2$ ו- $z_2=1+i$ .
מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $19+4i$ . $z_1=3+2i$ .
מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ , שהמנה שלהם היא $\frac{z_1}{z_2}=-3-2i$ . $z_1=-5+i$ .
נקודות של מספרים מרוכבים עם פרמטר: על הצירים ועל ישר (שאלת ביניים · בינונית)
לכל מספר ממשי $k$ מגדירים את המספר המרוכב $z_k=(k+1)+(2k-4)i$ . הנקודה $P_k$ מייצגת את $z_k$ במישור גאוס.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מקום גאומטרי של z², שורשי היחידה ומצולע מסובב · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
שורשים מסדר 6, הזזה במישור גאוס, משושה משוכלל ודלתון · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 3
נתונה משוואה I: $w^6=-27$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים, תנאי על ישר דרך הראשית ושטח מצולע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-19+4i$ . $z_1=2+3i$ .