דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסור - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסור (מישור גאוס וערך מוחלט), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסור
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס הנקודות AA ו-BB מייצגות את המספרים המרוכבים z1=2+5iz_1=2+5i ו-z2=6−iz_2=6-i בהתאמה. הנקודה MM היא אמצע הקטע ABAB, והיא מייצגת את המספר zMz_M.

2468-2246AB
א.

המספר המרוכב z3z_3 מקיים z3−zM=3−4iz_3-z_M=3-4i. מצאו את z3z_3.

ב.

מצאו את המספר המרוכב ww שעבורו MM היא אמצע הקטע שקצותיו הן הנקודות המייצגות את z3z_3 ואת ww.

שאלה 2 · שורשים מסדר 6 והזזה: מעגל, דלתון ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64, ונתונה משוואה II: (z−i)6=−64(z-i)^6=-64, כאשר ww ו-zz הם מספרים מרוכבים.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.
(1)

הראו כי אם ww הוא פתרון של משוואה I, אז z=w+iz=w+i הוא פתרון של משוואה II. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II.

(2)

הנקודות המייצגות את פתרונות משוואה II נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה המייצגת את ii. מצאו את הרדיוס שלו ואת משוואתו.

ג.
(1)

שני הפתרונות הממשיים ושני הפתרונות המדומים של משוואה II מייצגים קודקודים של מרובע. הראו כי המרובע הוא דלתון.

(2)

מצאו את היחס בין שטח המשושה שקודקודיו הם כל הפתרונות של משוואה II ובין שטח הדלתון.

שאלה 3 · הקודקוד הרביעי של מקבילית: כל האפשרויותשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס, הנקודות AA, BB ו-CC מייצגות את המספרים 1+i1+i, 4+2i4+2i ו-2+5i2+5i בהתאמה.

מצאו את כל המספרים המרוכבים dd שעבורם הנקודה DD המייצגת את dd היא קודקוד של מקבילית שגם AA, BB ו-CC הם קודקודיה (בסדר כלשהו).

שאלה 4 · מספר מרוכב ברביע הרביעי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוסשאלה מלאה · בינונית

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha) נמצא במישור גאוס ברביע הרביעי.

א.

נתון: zzˉ=12−32i\frac{z}{\bar z}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.

מצאו את α\alpha.

ב.

נתון: ∣3iz∣−∣zˉi∣+∣zzˉ∣=5|3iz|-\left|\frac{\bar z}{i}\right|+\left|\frac{z}{\bar z}\right|=5.

מצאו את RR.

ג.

נתונה המשוואה: w9=z664w^9=\frac{z^6}{64} (zz הוא המספר שמצאתם). הראו כי המספר zzˉ\frac{z}{\bar z} הוא אחד הפתרונות של המשוואה.

ד.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: zzˉ\frac{z}{\bar z} ו-zˉz\frac{\bar z}{z}. קודקוד הראש A מתאים למספר z+kz+k, kk הוא מספר מדומה טהור.

(1)

מהו הערך של kk?

(2)

חשבו את שטח המרובע ABOC (הנקודה O היא ראשית הצירים).

שאלה 5 · הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · קשה

במישור גאוס נתון משולש ABCABC. אמצע הצלע ABAB מייצג את המספר 2+i2+i, אמצע הצלע BCBC מייצג את המספר −1+3i-1+3i, ואמצע הצלע CACA מייצג את המספר 1−2i1-2i.

מצאו את המספרים המרוכבים המיוצגים על ידי הקודקודים AA, BB ו-CC.

שאלה 6 · השלמת ריבוע משני קודקודים נגדייםשאלת ביניים · קשה

במישור גאוס, הנקודות AA ו-CC מייצגות את המספרים 1+2i1+2i ו-5+4i5+4i בהתאמה. AA ו-CC הם קודקודים נגדיים של הריבוע ABCDABCD, ו-MM היא נקודת מפגש האלכסונים של הריבוע.

א.

מצאו את המספר המרוכב המייצג את MM, ואת המספר המרוכב המייצג את הווקטור MA→\overrightarrow{MA}.

ב.

מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את הקודקודים BB ו-DD.

ג.

הנקודה EE נמצאת על המשך האלכסון ACAC, כך ש-CC היא אמצע הקטע AEAE. מצאו את המספר המרוכב המייצג את EE, וחשבו את שטח המשולש BDEBDE.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.