שאלות פתוחות: הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסור - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסור מספרים מרוכבים, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות באמצע קטע במישור גאוס, בקודקודי מקבילית שאלכסוניה נפגשים בנקודה ידועה, במשולש שנתונים רק אמצעי הצלעות שלו, ובהזזה של פתרונות משוואה. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

18 שאלותקלה: 4בינונית: 10קשה: 4

שאלה 1 · הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס הנקודות AAA ו-BBB מייצגות את המספרים המרוכבים z1=2+5iz_1=2+5iz1​=2+5i ו-z2=6−iz_2=6-iz2​=6−i בהתאמה. הנקודה MMM היא אמצע הקטע ABABAB, והיא מייצגת את המספר zMz_MzM​.
2468-2246AB

א.

המספר המרוכב z3z_3z3​ מקיים z3−zM=3−4iz_3-z_M=3-4iz3​−zM​=3−4i. מצאו את z3z_3z3​.

ב.

מצאו את המספר המרוכב www שעבורו MMM היא אמצע הקטע שקצותיו הן הנקודות המייצגות את z3z_3z3​ ואת www.

שאלה 2 · הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · בינונית

zzz הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה z2−2mz+m2+4=0z^2-2mz+m^2+4=0z2−2mz+m2+4=0, כאשר mmm הוא פרמטר ממשי שונה מאפס. פתרונות המשוואה הם z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​.

א.

הביעו באמצעות mmm את פתרונות המשוואה.

ב.

במישור גאוס, הנקודות המייצגות את 000, את z1z_1z1​, את z1+z2z_1+z_2z1​+z2​ ואת z2z_2z2​ הן קודקודים של מרובע ששטחו 161616. מצאו את הערכים האפשריים של mmm.

שאלה 3 · הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · קשה

במישור גאוס נתון משולש ABCABCABC. אמצע הצלע ABABAB מייצג את המספר 2+i2+i2+i, אמצע הצלע BCBCBC מייצג את המספר −1+3i-1+3i−1+3i, ואמצע הצלע CACACA מייצג את המספר 1−2i1-2i1−2i.

מצאו את המספרים המרוכבים המיוצגים על ידי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC.

שאלה 4 · הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס, הקודקודים AAA ו-BBB של המקבילית ABCDABCDABCD מייצגים את המספרים 1+3i1+3i1+3i ו-5−i5-i5−i בהתאמה. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה MMM המייצגת את המספר 4+72i4+\frac72i4+27​i.

א.

מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את הקודקודים CCC ו-DDD.

ב.

האם המקבילית ABCDABCDABCD היא מלבן? אם כן - הוכיחו; אם לא - נמקו.

שאלה 5 · הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסורשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס, הנקודות AAA, BBB ו-CCC מייצגות את המספרים 1+i1+i1+i, 4+2i4+2i4+2i ו-2+5i2+5i2+5i בהתאמה.

א.

מצאו את כל המספרים המרוכבים ddd שעבורם הנקודה DDD המייצגת את ddd היא קודקוד של מקבילית שגם AAA, BBB ו-CCC הם קודקודיה (בסדר כלשהו).

ב.

חשבו את שטח המשולש ששלוש הנקודות DDD שמצאתם הן קודקודיו.

שאלה 6 · קודקוד הראש כפונקציה של המודול: מעוין ושטח נתוןשאלה מלאה · קשה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα), R>0R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

נתון: zzˉ=−12−32i\frac{z}{\bar z}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}izˉz​=−21​−23​​i.

מצאו את α\alphaα.

ב.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. קודקוד הראש A מתאים למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור.

הביעו באמצעות RRR את kkk ואת המספר שמתאים לנקודה A.

ג.

מצאו את RRR שבעבורו המרובע ABOC הוא מעוין (O היא ראשית הצירים).

ד.

נתון כי שטח המשולש ABC הוא 32\frac{\sqrt3}{2}23​​. מצאו את RRR.

שאלה 7 · שורשים מסדר 6 והזזה: מעגל, דלתון ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64, ונתונה משוואה II: (z−i)6=−64(z-i)^6=-64(z−i)6=−64, כאשר www ו-zzz הם מספרים מרוכבים.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הראו כי אם www הוא פתרון של משוואה I, אז z=w+iz=w+iz=w+i הוא פתרון של משוואה II. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II.

(2)

הנקודות המייצגות את פתרונות משוואה II נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה המייצגת את iii. מצאו את הרדיוס שלו ואת משוואתו.

ג.

(1)

שני הפתרונות הממשיים ושני הפתרונות המדומים של משוואה II מייצגים קודקודים של מרובע. הראו כי המרובע הוא דלתון.

(2)

מצאו את היחס בין שטח המשושה שקודקודיו הם כל הפתרונות של משוואה II ובין שטח הדלתון.

שאלה 8 · מספר מרוכב ברביע הרביעי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוסשאלה מלאה · בינונית

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα) נמצא במישור גאוס ברביע הרביעי.

א.

נתון: zzˉ=12−32i\frac{z}{\bar z}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}izˉz​=21​−23​​i.

מצאו את α\alphaα.

ב.

נתון: ∣3iz∣−∣zˉi∣+∣zzˉ∣=5|3iz|-\left|\frac{\bar z}{i}\right|+\left|\frac{z}{\bar z}\right|=5∣3iz∣−​izˉ​​+​zˉz​​=5.

מצאו את RRR.

ג.

נתונה המשוואה: w9=z664w^9=\frac{z^6}{64}w9=64z6​ (zzz הוא המספר שמצאתם). הראו כי המספר zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ הוא אחד הפתרונות של המשוואה.

ד.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. קודקוד הראש A מתאים למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור.

(1)

מהו הערך של kkk?

(2)

חשבו את שטח המרובע ABOC (הנקודה O היא ראשית הצירים).

שאלה 9 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועיםשאלה מלאה · קשה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64. נתונה משוואה II: (z−c)6=−64(z-c)^6=-64(z−c)6=−64, כאשר ccc הוא מספר מרוכב קבוע ו-zzz מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הסבירו מדוע לכל ccc הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל, ומצאו את מרכז המשושה ואת אורך צלעו.

(2)

ידוע כי z=0z=0z=0 ו-z=23z=2\sqrt3z=23​ הם פתרונות של משוואה II. מצאו את כל הערכים האפשריים של ccc.

ג.

(1)

הציבו את הערך של ccc שהחלק המדומה שלו חיובי. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II, ומצאו את משוואת המעגל שעליו הם נמצאים.

(2)

הפתרונות של משוואה II שהנקודות המייצגות אותם נמצאות על צירי מישור גאוס הם קודקודים של משולש. מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המשולש.

שאלה 10 · קודקודי מקבילית מנקודת מפגש האלכסוניםשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס, הקודקודים AAA ו-BBB של המקבילית ABCDABCDABCD מייצגים את המספרים 1+3i1+3i1+3i ו-5−i5-i5−i בהתאמה. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה MMM המייצגת את המספר 4+72i4+\frac72i4+27​i.

מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את הקודקודים CCC ו-DDD.

עוד 5 שאלות על הפירוש הגאומטרי של חיבור וחיסור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה משוואה I: $w^6=64$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
השלמת ריבוע משני קודקודים נגדיים (שאלת ביניים · קשה)
במישור גאוס, הנקודות $A$ ו- $C$ מייצגות את המספרים $1+2i$ ו- $5+4i$ בהתאמה. $A$ ו- $C$ הם קודקודים נגדיים של הריבוע $ABCD$ , ו- $M$ היא נקודת…
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי משוואה (שאלה מלאה · בינונית)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
הקודקוד הרביעי של מקבילית: כל האפשרויות (שאלה קצרה · בינונית)
במישור גאוס, הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ מייצגות את המספרים $1+i$ , $4+2i$ ו- $2+5i$ בהתאמה.
מקבילית שאלכסוניה מייצגים סכום והפרש (שאלת ביניים · בינונית)
המספרים המרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ מקיימים $z_1+z_2=8+4i$ ו- $z_1-z_2=-2+4i$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מספר מרוכב ברביע השלישי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע השלישי.
שורשים מסדר 6, הזזה במישור גאוס, משושה משוכלל ודלתון · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 3
נתונה משוואה I: $w^6=-27$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי יחידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג את הקודקוד A. נתון:…