מבחן לדוגמה: ערך מוחלט של מספר מרוכב - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את $|z|$ בלי לחשב את $z$ עצמו.

חשבו את $z$ בהצגה אלגברית, ובדקו את התשובה לסעיף א'.

הראו כי $\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alpha$.

נתון: $\frac{z}{\bar z}=-i$.

מצאו את $\alpha$.

נתון: $|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2$.

מצאו את $R$, וכתבו את $z$ בהצגה אלגברית.

הנקודות B ו-C מתאימות למספרים $\frac{z}{\bar z}$ ו-$\frac{\bar z}{z}$. הנקודה A מתאימה למספר $z+k$, $k$ הוא מספר מדומה טהור. המשולש ABC שווה שוקיים שבסיסו BC.

הסבירו מדוע A נמצאת על הציר הממשי, ומצאו את $k$ ואת שטח המשולש ABC.

הראו כי $z_k\cdot\bar z_k=25\cdot2^{k-1}$, וחשבו את הסכום: $z_1\cdot\bar z_1+z_2\cdot\bar z_2+\ldots+z_8\cdot\bar z_8$.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $z$.

הראו כי $\frac1z=\bar z$.

הראו כי המספר $w=z+\frac1z$ הוא מספר ממשי, וכי $-2<w<2$.

מצאו את כל המספרים $z$ (שאינם ממשיים ו-$|z|=1$) המקיימים $z+\frac1z=1$, וחשבו עבורם את $z^2+\frac{1}{z^2}$.

מצאו את המספר המרוכב $z_0$.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים $d\cdot z_0$, $di\cdot z_0$ ו-$d\cdot(z_0)^m$ בהתאמה. $d>0$ הוא פרמטר, ו-$m$ הוא מספר טבעי, $1<m<12$.

מצאו את כל ערכי $m$ שעבורם המשולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

נגדיר: $w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1-i)$.

מצאו את $|w|$ ואת הארגומנט של $w$.

מצאו את כל הערכים של $d$ שעבורם המספר הטבעי הקטן ביותר $n$ שעבורו $w^n$ הוא מספר מדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC הוא $n=6$.