שאלות פתוחות: ערך מוחלט של מספר מרוכב - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על ערך מוחלט של מספר מרוכב לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן חישוב ערך מוחלט של מנה ושל חזקה, משוואות שבהן מופיע הערך המוחלט של z לצד z עצמו, כמו |z| ועוד z שווה למספר נתון, והמשוואה z² שווה לצמוד של z. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. השאלות נכנסות בקלות לבוחן או לדף עבודה במספרים מרוכבים, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא שאפשר להוריד בוורד.

38 שאלותקלה: 8בינונית: 25קשה: 5

שאלה 1 · ערך מוחלט של מספר מרוכבשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב z=(1+3i)23−iz=\dfrac{(1+3i)^2}{3-i}z=3−i(1+3i)2​.

א.

מצאו את ∣z∣|z|∣z∣ בלי לחשב את zzz עצמו.

ב.

חשבו את zzz בהצגה אלגברית, ובדקו את התשובה לסעיף א'.

שאלה 2 · ערך מוחלט של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה z2=zˉz^2=\bar zz2=zˉ, כאשר zzz מספר מרוכב.

א.

מצאו את כל הפתרונות של המשוואה.

ב.

הראו כי כל הפתרונות השונים מאפס נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים, ומצאו את רדיוסו.

שאלה 3 · ערך מוחלט של מספר מרוכבשאלה קצרה · קשה

zzz הוא מספר מרוכב המקיים z⋅(∣z∣−2)=9+12iz\cdot\left(|z|-2\right)=9+12iz⋅(∣z∣−2)=9+12i.

מצאו את zzz.

שאלה 4 · ריבוע במישור גאוס: סיבוב, מתיחה וזיהוי מרובעשאלה מלאה · קלה

נתון המספר המרוכב z1=52−iz_1=\frac{5}{2-i}z1​=2−i5​.

א.

הציגו את z1z_1z1​ בצורה x+iyx+iyx+iy, ומצאו את משוואת המעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר בנקודה המייצגת את z1z_1z1​.

ב.

הנקודה המייצגת את z1z_1z1​ היא קודקוד של ריבוע החסום במעגל.

מצאו את שאר קודקודי הריבוע, וחשבו את שטחו.

ג.

מכפילים כל אחד מארבעת המספרים המייצגים את קודקודי הריבוע ב-w=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)w=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)w=2(cos30∘+isin30∘).

מהו סוג המרובע שקודקודיו מיוצגים על ידי ארבע התוצאות? חשבו את שטחו.

ד.

עכשיו מכפילים ב-3 רק את שני המספרים z1z_1z1​ ו-−z1-z_1−z1​, ואת שני הקודקודים האחרים של הריבוע מסעיף ב משאירים כמו שהם.

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו, וחשבו את שטחו.

שאלה 5 · ערך מוחלט של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

המספר המרוכב zzz מקיים את המשוואה ∣z∣+z=2+8i|z|+z=2+8i∣z∣+z=2+8i. במישור גאוס הנקודה AAA מייצגת את המספר 2+8i2+8i2+8i, והנקודה ZZZ מייצגת את המספר zzz.
-4-2242468A

א.

מצאו את המספר zzz.

ב.

חשבו את המרחק AZAZAZ. הסבירו מדוע מרחק זה שווה ל-∣z∣|z|∣z∣.

שאלה 6 · ריבוע במישור גאוס וסיבוב בזווית פרמטרית: מתי יש מרובע ומה סוגושאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z2+zzˉ=3z−zˉ+12+8iz^2+z\bar z=3z-\bar z+12+8iz2+zzˉ=3z−zˉ+12+8i, zzz הוא מספר מרוכב. z1z_1z1​ הוא הפתרון של המשוואה המיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון של מישור גאוס. חוסמים במעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר דרך z1z_1z1​ ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי z1z_1z1​.

א.

מצאו את z1z_1z1​ ואת שאר קודקודי הריבוע.

ב.

מכפילים ב-r1(cos⁡α+isin⁡α)r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)r1​(cosα+isinα) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב-r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))r2​(cos(α+β)+isin(α+β)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני הקודקודים שנמצאים ברביעים השני והרביעי. r1r_1r1​ ו-r2r_2r2​ חיוביים, 0∘<β<180∘0^\circ<\beta<180^\circ0∘<β<180∘.

(1)

עבור איזה ערך של β\betaβ ארבע הנקודות שהתקבלו אינן יוצרות מרובע? נמקו.

(2)

עבור שאר ערכי β\betaβ, קבעו מהו סוג המרובע שהתקבל, ובאיזה תנאי הוא מלבן. האם הוא יכול להיות מעוין? נמקו.

ג.

נתון: r1⋅r2=2r_1\cdot r_2=2r1​⋅r2​=2, ושטח המרובע שהתקבל שווה לשטח הריבוע.

מצאו את β\betaβ (שתי אפשרויות).

שאלה 7 · המנה של מספר מרוכב בצמוד שלו ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · קלה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα), R>0R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

הראו כי zzˉ=cos⁡2α+isin⁡2α\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alphazˉz​=cos2α+isin2α.

ב.

נתון: zzˉ=−i\frac{z}{\bar z}=-izˉz​=−i.

מצאו את α\alphaα.

ג.

נתון: ∣2iz∣+∣zˉ∣=62|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2∣2iz∣+∣zˉ∣=62​.

מצאו את RRR, וכתבו את zzz בהצגה אלגברית.

ד.

הנקודות B ו-C מתאימות למספרים zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. הנקודה A מתאימה למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור. המשולש ABC שווה שוקיים שבסיסו BC.

הסבירו מדוע A נמצאת על הציר הממשי, ומצאו את kkk ואת שטח המשולש ABC.

שאלה 8 · ערך מוחלט של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה z2+∣z∣=0z^2+|z|=0z2+∣z∣=0, כאשר zzz מספר מרוכב.

מצאו את כל הפתרונות של המשוואה.

שאלה 9 · מספרים מרוכבים: מתי המשולש ישר-זווית ובאיזה רדיוסשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z3=−1z3z^3=-\frac{1}{z^3}z3=−z31​, zzz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0z0​ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.

א.

מצאו את המספר המרוכב z0z_0z0​.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0d⋅z0​, di⋅z0di\cdot z_0di⋅z0​ ו-d⋅(z0)md\cdot(z_0)^md⋅(z0​)m בהתאמה. d>0d>0d>0 הוא פרמטר, ו-mmm הוא מספר טבעי, 1<m<121<m<121<m<12.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם המשולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1−i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1-i)w=((z0​)2−(z0​)21​)(1−i).

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣ ואת הארגומנט של www.

ד.

מצאו את כל הערכים של ddd שעבורם המספר הטבעי הקטן ביותר nnn שעבורו wnw^nwn הוא מספר מדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC הוא n=6n=6n=6.

שאלה 10 · שורשי היחידה מסדר 6: משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורהשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=1z^6=1z6=1, zzz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0z0​ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון במישור גאוס.

א.

פתרו את המשוואה, ומצאו את z0z_0z0​.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0d⋅z0​, di⋅z0di\cdot z_0di⋅z0​ ו-d⋅(z0)4d\cdot(z_0)^4d⋅(z0​)4 בהתאמה. d>0d>0d>0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את הארגומנטים של שלושת המספרים, והראו כי AC הוא קוטר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו ddd.

(2)

הראו כי שטח המשולש ABC הוא d2d^2d2. נתון כי שטח המשולש ABC הוא 2d+82d+82d+8. מצאו את הערך של ddd.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1+i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1+i)w=((z0​)2−(z0​)21​)(1+i).

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣ ואת הארגומנט של www.

ד.

(1)

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר nnn שעבורו wnw^nwn הוא מספר מדומה טהור, ואת wnw^nwn עבורו.

(2)

קבעו אם הנקודה המייצגת את המספר שמצאתם בסעיף ד(1) נמצאת בתוך המעגל החוסם את המשולש ABC או מחוצה לו.

עוד 23 שאלות על ערך מוחלט של מספר מרוכב

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=a+2i$ ו- $z_2=3-ai$ , כאשר $a$ מספר ממשי. ידוע כי $|z_1+z_2|=5$ , וכי הנקודה המייצגת את $z_1-z_2$ במישור גאוס…
מרוכבים: נקודה על המעגל בכיוון המרכז, סדרה מסתובבת ושטחי משולשים (שאלה מלאה · קשה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובב (שאלה מלאה · קלה)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
המספרים המרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ מקיימים בו-זמנית את שתי המשוואות: $z_1+z_2=3+4i,\qquad \bar z_1-z_2=1-4i$
מספר שערכו המוחלט 1: ההופכי הוא הצמוד (שאלת ביניים · קשה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב שאינו ממשי ( $x$ ו- $y$ ממשיים, $y\ne0$ ), המקיים $|z|=1$ .
מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
המספר המרוכב $z$ מקיים $|z|=\sqrt{10}$ , והמכפלה $(1+3i)\cdot z$ היא מספר ממשי חיובי.
מרוכבים: ריבוע במישור גאוס, סיבוב ושורשים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^2+(-2+2i)z-4i=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
המספר המרוכב $z$ אינו ממשי. ידוע כי $z^2+2z$ הוא מספר ממשי, וכי $|z|=\sqrt5$ .
ערך מוחלט של מנה וחזקה בלי לחשב את המספר (שאלה קצרה · קלה)
נתון המספר המרוכב $z=\dfrac{(1+3i)^2}{3-i}$ .
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
$z$ הוא מספר מרוכב השונה מאפס, המקיים $\dfrac{z}{\bar z}+\dfrac{\bar z}{z}=1$ וגם $|z|=2$ .
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2-(m+3i)z+k+5i=0$ , כאשר $m$ ו- $k$ הם פרמטרים ממשיים. נתון כי $z_1=1+2i$ הוא פתרון של המשוואה. בשרטוט,…
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ ממשיים). נתון כי $z$ מקיים את שני התנאים: $|z|\le2$ וגם $\operatorname{Re}(z)\ge1$ .
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
$z_1$ ו- $z_2$ הם מספרים מרוכבים שונים מאפס, המקיימים $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$ . נתון: $|z_1|=3$ , $|z_2|=4$ .
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
$z_1$ ו- $z_2$ הם מספרים מרוכבים המקיימים $|z_1|=2$ , $|z_2|=3$ ו- $|z_1+z_2|=\sqrt{19}$ .
משוואה במרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב בזוויות שונות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^2+z\bar z=z-2\bar z+3-2i$ , $z$ הוא מספר מרוכב. $z_1$ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס…
מספר מרוכב ברביע הרביעי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע הרביעי.
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה מסדר 8, משולש וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=\frac{1}{z^4}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע…
מקום גאומטרי של z², שורשים מסדר שלישי ומשולש מסובב (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
ערך מוחלט של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ ממשיים).
מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
סכום של מכפלות במספר הצמוד בסדרה הנדסית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית $z_1,z_2,z_3,\ldots$ של מספרים מרוכבים, שבה $z_1=4+3i$ , ומנת הסדרה $q$ היא מספר ממשי המקיים $q^2=2$ .
ערך מוחלט של מספר מרוכב עם פרמטר: ערך נתון וערך מינימלי (שאלת ביניים · בינונית)
לכל מספר ממשי $a$ מגדירים את המספר המרוכב $z=a+(a+1)i$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משוואה במספרים מרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב קודקודים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^2+z\bar z=z+2\bar z+9+7i$ , $z$ הוא מספר מרוכב. $z_1$ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל…
מספר מרוכב ברביע השלישי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע השלישי.
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה, משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=\frac{1}{z^3}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.
מקום גאומטרי של z², שורשי היחידה ומצולע מסובב · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מרוכבים: מעגל במישור גאוס, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית מרוכבת · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 3
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).