מבחן לדוגמה: מרחק בין נקודות במישור גאוס - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את $w$, והראו כי המשולש $OAB$ ישר-זווית ושווה-שוקיים.

מצאו את המרחק בין $A$ ל-$B$, וחשבו את שטח המשולש $OAB$.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-i|=\frac{z-\bar z}{2i}+1$ הוא הפרבולה $x^2=4y$.

הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על הפרבולה $x^2=4y$. מצאו את $r$, וכתבו את $w$ בהצגה אלגברית.

מצולע II הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$, $-w$, $\frac1w$, $-\frac1w$. כתבו את ארבעת המספרים בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

הראו כי מצולע II הוא מעוין, ומצאו את שטחו.

מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4=-\frac{1}{1024}$. מצאו את הפתרונות בהצגה קוטבית, ואת היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

מצאו את רדיוס המעגל.

חשבו את המרחק בין הנקודות המייצגות את $z_2$ ואת $z_3$, ואת שטח המשולש.

הפתרונות שמצאתם בתת-סעיף א(2) מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

מצאו את שטח המרובע.

מסובבים את המרובע (סביב הראשית) בזווית $\alpha$ נגד כיוון השעון, $90^\circ<\alpha<180^\circ$.

מהו הערך של מכפלת כל המספרים המייצגים את קודקודי המרובע בעבור: $\alpha=135^\circ$? נמקו את תשובתכם.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הביטוי $\left|z^2-(3+4i)z\right|$.

מצאו את המספר $z$ שבו מתקבל הערך הגדול ביותר.

תארו את המקום הגאומטרי של $z$ ואת המקום הגאומטרי של $w$ במישור גאוס, והראו כי אין מספר המקיים את שני התנאים.

מצאו את המרחק הקטן ביותר האפשרי בין הנקודות המייצגות את $z$ ואת $w$, ואת המספרים $z$ ו-$w$ שבהם הוא מתקבל.

מצאו את המספרים $w$ המקיימים את התנאי הנתון, שעבורם המרחק הקטן ביותר בין הנקודה המייצגת את $w$ ובין הנקודות על המקום הגאומטרי של $z$ הוא $2\sqrt5-2$. הראו כי הנקודות המייצגות את המספרים שמצאתם סימטריות זו לזו ביחס לאנך מהראשית לישר שמצאתם בסעיף א.