שאלות פתוחות: מרחק בין נקודות במישור גאוס - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מרחק בין נקודות במישור גאוס, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות שני מספרים בעלי ערך מוחלט שווה והמרחק ביניהם, נקודות שמקיימות שני תנאים בבת אחת, הכפלה ב-i ומשולש שנוצר עם הראשית, משוואה ריבועית בערך המוחלט, ופתרונות של משוואה ממעלה שישית. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן, למבחן או לדף עבודה, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

22 שאלותקלה: 5בינונית: 12קשה: 5

שאלה 1 · מרחק בין נקודות במישור גאוסשאלה קצרה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים). נתון כי zzz מקיים גם ∣z−2i∣=2|z-2i|=2∣z−2i∣=2 וגם Re⁡(z)=Im⁡(z)\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Im}(z)Re(z)=Im(z).

תארו את המקום הגאומטרי של כל אחד משני התנאים, ומצאו את כל המספרים zzz המקיימים את שניהם.

שאלה 2 · מרחק בין נקודות במישור גאוסשאלה קצרה · בינונית

z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​ הם מספרים מרוכבים המקיימים ∣z1∣=∣z2∣=∣z1−z2∣=4|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|=4∣z1​∣=∣z2​∣=∣z1​−z2​∣=4.

א.

מצאו את ∣z1+z2∣|z_1+z_2|∣z1​+z2​∣.

ב.

חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם הנקודות המייצגות את z1z_1z1​, z2z_2z2​ ו-z1+z2z_1+z_2z1​+z2​.

שאלה 3 · מרחק בין נקודות במישור גאוסשאלה קצרה · קשה

zzz הוא מספר מרוכב המקיים ∣z∣=2|z|=2∣z∣=2.

א.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הביטוי ∣z2−(3+4i)z∣\left|z^2-(3+4i)z\right|​z2−(3+4i)z​.

ב.

מצאו את המספר zzz שבו מתקבל הערך הגדול ביותר.

שאלה 4 · מרחק בין נקודות במישור גאוסשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב z=2+3iz=2+3iz=2+3i. מגדירים w=i⋅zw=i\cdot zw=i⋅z. הנקודות AAA ו-BBB מייצגות במישור גאוס את zzz ואת www, ו-OOO היא ראשית הצירים.

א.

חשבו את www, והראו כי המשולש OABOABOAB ישר-זווית ושווה-שוקיים.

ב.

מצאו את המרחק בין AAA ל-BBB, וחשבו את שטח המשולש OABOABOAB.

שאלה 5 · מרחק בין נקודות במישור גאוסשאלה קצרה · בינונית

zzz הוא מספר מרוכב המקיים את המשוואה ∣z∣2−2∣z∣−8=0|z|^2-2|z|-8=0∣z∣2−2∣z∣−8=0.

א.

מצאו את ∣z∣|z|∣z∣, ותארו את המקום הגאומטרי של הנקודות המייצגות את zzz במישור גאוס.

ב.

מצאו את הערך הקטן ביותר ואת הערך הגדול ביותר של ∣z−3i∣|z-3i|∣z−3i∣, ואת המספרים zzz שבהם הם מתקבלים.

שאלה 6 · שורשים מסדר 6: כל המכנים שמשאירים ארבעה פתרונות וסיבובשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה z6+729i=0z^6+729i=0z6+729i=0 (zzz הוא מספר מרוכב).

א.

מצאו את כל המספרים המרוכבים www שעבורם למשוואה z6+729iz2−w=0\frac{z^6+729i}{z^2-w}=0z2−wz6+729i​=0 יש בדיוק ארבעה פתרונות.

ב.

לכל אחד מערכי www, ארבעת הפתרונות מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

מצאו את שטח המרובע בעבור כל אחד מערכי www.

ג.

בעבור כל אחד מערכי www, מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המרובע.

ד.

מסובבים את המרובע (סביב הראשית) בזווית α\alphaα נגד כיוון השעון, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

מצאו את כל הזוגות של www ו-α\alphaα שעבורם מכפלת המספרים המייצגים את קודקודי המרובע לאחר הסיבוב היא 81.

שאלה 7 · שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלהשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=−729z^6=-729z6=−729 (zzz הוא מספר מרוכב).

א.

כתבו את −729-729−729 בהצגה קוטבית, ומצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

ב.

מצאו את הפתרונות של המשוואה שהם מספרים מדומים טהורים, והראו שהם הפתרונות של המשוואה z2=−9z^2=-9z2=−9.

ג.

ארבעת הפתרונות האחרים של המשוואה מייצגים קודקודים של מלבן במישור גאוס.

מצאו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן.

ה.

מסובבים את המלבן סביב הראשית בזווית 45∘45^\circ45∘ נגד כיוון השעון. כל קודקוד מוכפל ב-cis45∘cis45^\circcis45∘.

מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן לאחר הסיבוב.

שאלה 8 · מרחק בין נקודות במישור גאוסשאלה קצרה · בינונית

z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​ הם מספרים מרוכבים המקיימים ∣z1∣=∣z2∣=5|z_1|=|z_2|=5∣z1​∣=∣z2​∣=5 ו-∣z1+z2∣=6|z_1+z_2|=6∣z1​+z2​∣=6.

א.

מצאו את המרחק בין הנקודות המייצגות את z1z_1z1​ ואת z2z_2z2​ במישור גאוס.

ב.

חשבו את שטח המרובע שקודקודיו הם הנקודות המייצגות את 000, z1z_1z1​, z1+z2z_1+z_2z1​+z2​ ו-z2z_2z2​.

שאלה 9 · מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתון מספר מרוכב w=r(cos⁡θ+isin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\sin\theta)w=r(cosθ+isinθ), 0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ0∘<θ<90∘, r>0r>0r>0. מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה z4=1r4(cos⁡4θ+isin⁡4θ)z^4=\frac{1}{r^4}(\cos4\theta+i\sin4\theta)z4=r41​(cos4θ+isin4θ), ומצולע II הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים www, 1w\frac1ww1​, −w-w−w, −1w-\frac1w−w1​.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z−2i∣=z−zˉ2i+2|z-2i|=\frac{z-\bar z}{2i}+2∣z−2i∣=2iz−zˉ​+2 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

ב.

הביעו באמצעות rrr ו-θ\thetaθ הצגה קוטבית של הקודקודים של מצולע I ושל מצולע II.

ג.

הביעו באמצעות rrr ו-θ\thetaθ את היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

ד.

נתון כי הנקודה המייצגת את www נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א, וכי היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I הוא 54.

מצאו את www בהצגה אלגברית, וקבעו אם מצולע II הוא מעוין.

שאלה 10 · מספרים מרוכבים: פרבולה, הופכי, שורשים ויחס שטחים במספריםשאלה מלאה · קלה

נתון מספר מרוכב w=r(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)w=r(cos45∘+isin45∘), r>0r>0r>0.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z−i∣=z−zˉ2i+1|z-i|=\frac{z-\bar z}{2i}+1∣z−i∣=2iz−zˉ​+1 הוא הפרבולה x2=4yx^2=4yx2=4y.

ב.

הנקודה המייצגת את www נמצאת על הפרבולה x2=4yx^2=4yx2=4y. מצאו את rrr, וכתבו את www בהצגה אלגברית.

ג.

מצולע II הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים www, −w-w−w, 1w\frac1ww1​, −1w-\frac1w−w1​. כתבו את ארבעת המספרים בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

ד.

הראו כי מצולע II הוא מעוין, ומצאו את שטחו.

ה.

מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה z4=−11024z^4=-\frac{1}{1024}z4=−10241​. מצאו את הפתרונות בהצגה קוטבית, ואת היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

עוד 10 שאלות על מרחק בין נקודות במישור גאוס

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרחק בין נקודות במישור גאוס (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות המייצגות את המספרים המרוכבים $z_1$ , $z_2$ ו- $z_3$ במישור גאוס הן קודקודים של משולש שווה-צלעות החסום במעגל שמרכזו בנקודה $W$ המייצגת…
המרחק בין שתי נקודות מתוך ערכים מוחלטים של סכום (שאלה קצרה · קשה)
$z_1$ ו- $z_2$ הם מספרים מרוכבים המקיימים $|z_1|=|z_2|=5$ ו- $|z_1+z_2|=6$ .
רדיוס מעגל כמרחק בין שתי נקודות במישור גאוס (שאלה קצרה · קלה)
הנקודה $A$ , המייצגת במישור גאוס את המספר המרוכב $z_1=2+3i$ , היא קודקוד של משולש שווה-צלעות החסום במעגל שמרכזו בנקודה $W$ המייצגת את $w=-1-i$ …
מרחק בין נקודות במישור גאוס (שאלה קצרה · בינונית)
במישור גאוס, הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ מייצגות את המספרים $1+i$ , $5+i$ ו- $3+5i$ בהתאמה. דרך שלוש הנקודות עובר מעגל.
המרחק הקטן ביותר בין נקודה על מעגל לנקודה על ישר (שאלת ביניים · קשה)
$z$ הוא מספר מרוכב המקיים $|z|=2$ , ו- $w$ הוא מספר מרוכב המקיים $\operatorname{Re}(w)+\operatorname{Im}(w)=6$ .
מרחק בין נקודות במישור גאוס (שאלה קצרה · בינונית)
$z$ הוא מספר מרוכב המקיים $|z|=2$ , ו- $w$ הוא מספר מרוכב המקיים $\operatorname{Re}(w)+\operatorname{Im}(w)=6$ .
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+64=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
נקודה על הציר הממשי במרחקים שווים משתי נקודות (שאלת ביניים · בינונית)
במישור גאוס, הנקודות $A$ ו- $B$ מייצגות את המספרים המרוכבים $z_1=1+5i$ ו- $z_2=5+3i$ בהתאמה.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 3
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-3i|=\frac{z-\bar z}{2i}+3$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.