מבחן לדוגמה: הצגה קוטבית: מודול וארגומנט - כיתה י"ב 5 יח"ל

הסבירו מדוע המרובע הוא מלבן.

מצאו את שטח המלבן.

הוכיחו כי: $q=z_1$ או $q=-z_1$.

הראו כי המספרים $\frac{z_1}{2}, \frac{z_2}{2^2}, \ldots, \frac{z_8}{2^8}$ הם איברים של סדרה הנדסית, ומצאו את סכומם.

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$, $w_2=2r\cdot(\cos4\alpha+i\cdot\sin4\alpha)$, $50^\circ<\alpha<100^\circ$. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו-$w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס.

הסבירו מדוע $3\alpha$ הוא כפולה של $180^\circ$, ומצאו את $\alpha$.

נתון כי $w_1$ הוא אחד משלושת המספרים הנתונים.

מצאו את הערך של $r$, וכתבו את $w_2$ בהצגה קוטבית.

נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: $w_3=3\cdot i$, $w_4=\frac6i$. $ABCD$ הוא מרובע קמור. הקודקוד $A$ מיוצג על ידי המספר $w_1$, הקודקוד $B$ מיוצג על ידי המספר $w_3$, הקודקוד $C$ מיוצג על ידי המספר $w_2$, והקודקוד $D$ מיוצג על ידי המספר $w_4$.

מצאו את אורכי האלכסונים $AC$ ו-$BD$ ואת הזווית ביניהם.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $(x,y)$ במישור גאוס המקיימות: $|-8-\bar z-6i|^2-|3i|=|5-12i|$ הוא מעגל.

הנקודה $M$ היא מרכז המעגל המתואר בסעיף א. המספרים המרוכבים $z_A$ ו-$z_M$ מייצגים את הנקודות $A$ ו-$M$, בהתאמה. נתון: למספרים $z_A$ ו-$z_M$ יש אותו ארגומנט (זווית), $2|z_A|=|z_M|$.

מצאו את שיעורי הנקודה $A$.

נתונה סדרה הנדסית: $z_1,z_2,z_3,\ldots$. האיבר הראשון בסדרה מייצג את הנקודה $A$, והאיבר הרביעי בסדרה מייצג את הנקודה $M$.

מצאו את מנת הסדרה (כל האפשרויות).

חשבו את הסכום: $z_1\cdot\bar z_1+z_2\cdot\bar z_2+\ldots+z_9\cdot\bar z_9$.

הנקודה $M$ היא מרכז המעגל. הנקודה $A$ נמצאת על המעגל, ולמספרים $z_A$ ו-$z_M$ יש אותו ארגומנט.

מצאו את שתי האפשרויות לנקודה $A$.

מצאו את הערך של $r$ שעבורו המרחק בין הנקודות המייצגות את $z_1$ ואת $z_2$ במישור גאוס הוא הקטן ביותר, ומצאו את המרחק הזה.

עבור הערך של $r$ שמצאתם, כתבו את $z_1-z_2$ בהצגה קוטבית.