דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הצגה קוטבית: מודול וארגומנט - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הצגה קוטבית של מספר מרוכב, מודול וארגומנט, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מציאת מודול וארגומנט של מנה, פרמטר שנקבע לפי ארגומנט נתון, שני מספרים על מעגל היחידה שסכומם 1, הארגומנט הגדול והקטן ביותר של נקודות על מעגל, וסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

32 שאלותקלה: 8בינונית: 19קשה: 5

שאלה 1 · הצגה קוטבית: מודול וארגומנטשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב z=−41+iz=\frac{-4}{1+i}.

כתבו את zz בהצגה קוטבית (ארגומנט בתחום 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ).

שאלה 2 · הצגה קוטבית: מודול וארגומנטשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=a+i1−iz=\frac{a+i}{1-i}, כאשר aa הוא מספר ממשי. ידוע כי הארגומנט של zz הוא 60∘60^\circ.

א.

מצאו את aa.

ב.

מצאו את ∣z∣|z|, וכתבו את zz בהצגה קוטבית.

שאלה 3 · סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: מיון איברים וסכומים חלקייםשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \ldots שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא qq. z1z_1 נמצא ברביע הראשון. נתון: (z1)3=z3(z_1)^3=z_3, z3‾=−3z1\overline{z_3}=-3z_1.

א.

הוכיחו כי: q=z1q=z_1 או q=−z1q=-z_1.

ב.

מצאו את z1z_1.

בסעיפים ג-ה: q=z1q=z_1.

ג.

מצאו את כל המספרים הטבעיים mm שעבורם zmz_m ממשי, ואת כל המספרים הטבעיים mm שעבורם zmz_m מדומה.

ד.

נסמן wm=zm(3)mw_m=\frac{z_m}{(\sqrt3)^m}, ו-SN=w1+w2+…+wNS_N=w_1+w_2+\ldots+w_N.

מצאו את כל הערכים של NN שעבורם SN=0S_N=0.

ה.

מצאו את הערך הגדול ביותר של ∣SN∣|S_N|, ואת כל ה-NN שעבורם הוא מתקבל.

שאלה 4 · סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, דה-מואבר וסכוםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \ldots שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא qq. z1z_1 נמצא ברביע הראשון. נתון: (z1)3=z3(z_1)^3=z_3, z3‾=−4z1\overline{z_3}=-4z_1.

א.

הוכיחו כי: q=z1q=z_1 או q=−z1q=-z_1.

ב.
(1)

הראו כי ∣z1∣=2|z_1|=2.

(2)

מצאו את z1z_1 בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

בסעיפים ג-ד: q=z1q=z_1.

ג.
(1)

הראו כי zm=2mcis(45∘m)z_m=2^m\text{cis}(45^\circ m).

(2)

קבעו אם z6z_6 ואם z8z_8 ממשיים או מדומים. נמקו.

ד.

הראו כי המספרים z12,z222,…,z828\frac{z_1}{2}, \frac{z_2}{2^2}, \ldots, \frac{z_8}{2^8} הם איברים של סדרה הנדסית, ומצאו את סכומם.

שאלה 5 · הצגה קוטבית: מודול וארגומנטשאלה קצרה · בינונית

z1z_1 ו-z2z_2 הם שני מספרים מרוכבים שונים זה מזה, המקיימים ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1|=|z_2|=1 וגם z1+z2=1z_1+z_2=1.

א.

מצאו את z1z_1 ואת z2z_2, וכתבו אותם בהצגה קוטבית (ארגומנט בתחום 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ).

ב.

במישור גאוס הנקודות AA ו-BB מייצגות את z1z_1 ואת z2z_2, והנקודה CC מייצגת את z1+z2z_1+z_2. מצאו את ∣z1−z2∣|z_1-z_2|, וקבעו איזה מרובע הוא OACBOACB (OO ראשית הצירים). נמקו.

שאלה 6 · מרוכבים: נקודה על המעגל בכיוון המרכז, סדרה מסתובבת ושטחי משולשיםשאלה מלאה · קשה

z=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xx ו-yy הם מספרים ממשיים).

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות (x,y)(x,y) במישור גאוס המקיימות: ∣izˉ+8−6i∣2−∣12i∣=∣−5+12i∣|i\bar z+8-6i|^2-|12i|=|-5+12i| הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

הנקודה MM היא מרכז המעגל. הנקודה AA נמצאת על המעגל, ולמספרים zAz_A ו-zMz_M יש אותו ארגומנט.

מצאו את שתי האפשרויות לנקודה AA.

ג.

נתון כי AA היא הנקודה הקרובה יותר לראשית. נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1,z_2,z_3,\ldots, שבה z1=zAz_1=z_A ו-z5=zMz_5=z_M.

מצאו את כל המנות האפשריות של הסדרה, וקבעו עבור אילו מהן כל איברי הסדרה נמצאים על ישר אחד. נמקו.

ד.

עבור q=24 iq=\sqrt[4]{2}\,i: הוכיחו כי לכל nn המשולש שקודקודיו הם ראשית הצירים OO והנקודות המייצגות את znz_n ו-zn+1z_{n+1} הוא ישר-זווית, ומצאו את הערך הקטן ביותר של nn שבעבורו שטחו גדול מ-1000.

שאלה 7 · שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלהשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=−729z^6=-729 (zz הוא מספר מרוכב).

א.

כתבו את −729-729 בהצגה קוטבית, ומצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

ב.

מצאו את הפתרונות של המשוואה שהם מספרים מדומים טהורים, והראו שהם הפתרונות של המשוואה z2=−9z^2=-9.

ג.

ארבעת הפתרונות האחרים של המשוואה מייצגים קודקודים של מלבן במישור גאוס.

מצאו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן.

ה.

מסובבים את המלבן סביב הראשית בזווית 45∘45^\circ נגד כיוון השעון. כל קודקוד מוכפל ב-cis45∘cis45^\circ.

מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן לאחר הסיבוב.

שאלה 8 · הצגה קוטבית: מודול וארגומנטשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס נתונים כל המספרים המרוכבים zz המקיימים ∣z−2i∣=1|z-2i|=1. הארגומנט של כל מספר נמדד בתחום 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ.

א.

מבין כל המספרים האלה, מצאו את המספר שהארגומנט שלו הוא הגדול ביותר. כתבו אותו בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

ב.

מצאו את המספר שהארגומנט שלו הוא הקטן ביותר, ואת המרחק בין הנקודות המייצגות את שני המספרים שמצאתם.

שאלה 9 · שורשים של מספר מדומה, ישר דרך הראשית ופרמטרים במישור גאוסשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z3=64iz^3=64i. zz הוא משתנה מרוכב.

א.

מצאו את כל פתרונות המשוואה.

ב.

נתונים שני מספרים מרוכבים: w1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)w_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), w2=2r⋅(cos⁡7α+i⋅sin⁡7α)w_2=2r\cdot(\cos7\alpha+i\cdot\sin7\alpha), 20∘<α<140∘20^\circ<\alpha<140^\circ. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים w1w_1 ו-w2w_2 נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים OO במישור גאוס.

מצאו את כל הערכים האפשריים של α\alpha.

ג.

נתון כי w1w_1 הוא אחד מהפתרונות שמצאתם בסעיף א.

מצאו את הערך של α\alpha ואת הערך של rr.

ד.

נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: w3=k⋅iw_3=k\cdot i, w4=8iw_4=\frac8i, k>0k>0 הוא פרמטר. ABCDABCD הוא מרובע קמור. הקודקוד AA מיוצג על ידי המספר w1w_1, הקודקוד BB מיוצג על ידי המספר w3w_3, הקודקוד CC מיוצג על ידי המספר w2w_2, והקודקוד DD מיוצג על ידי המספר w4w_4. נתון כי שטח המרובע ABCDABCD הוא 36336\sqrt3.

מצאו את הערך של kk.

ה.

uu הוא מספר מרוכב. הנקודה EE, שמיוצגת על ידי המספר uu, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית BOABOA. נתון כי ∣u∣>1|u|>1, uˉ+1u=c(cos⁡300∘+i⋅sin⁡300∘)\bar u+\frac1u=c(\cos300^\circ+i\cdot\sin300^\circ), c>0c>0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו עבור אילו ערכים של cc קיים מספר מרוכב uu כזה. נמקו.

(2)

הציבו c=4.25c=4.25 ומצאו את המספר המרוכב uu.

שאלה 10 · הצגה קוטבית: מודול וארגומנטשאלה קצרה · קלה

המספרים z1=4cis20∘z_1=4cis20^\circ, z2=4cis80∘z_2=4cis80^\circ, z3=4cis200∘z_3=4cis200^\circ, z4=4cis260∘z_4=4cis260^\circ מייצגים קודקודים של המרובע z1z2z3z4z_1z_2z_3z_4 במישור גאוס.

א.

הסבירו מדוע המרובע הוא מלבן.

ב.

מצאו את שטח המלבן.

עוד 17 שאלות על הצגה קוטבית: מודול וארגומנט

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. הצגה קוטבית: מודול וארגומנט (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים המספרים המרוכבים z1=4cis⁡20∘z_1=4\operatorname{cis}20^\circ ו-z2=rcis⁡80∘z_2=r\operatorname{cis}80^\circ, כאשר r>0r>0.

  2. נקודה על מעגל שיש לה אותו ארגומנט כמו מרכז המעגל (שאלה קצרה · קשה)

    במישור גאוס נתון המעגל שמרכזו בנקודה M(6,−8)M(6,-8) ורדיוסו 55, כלומר המעגל (x−6)2+(y+8)2=25(x-6)^2+(y+8)^2=25. המספרים המרוכבים zAz_A ו-zMz_M מייצגים את…

  3. מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)

    z=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xx ו-yy הם מספרים ממשיים).

  4. סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, איברים ממשיים ומדומים וסכום (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \ldots שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא qq. z1z_1 נמצא ברביע השני. נתון: z3=−(z1)3z_3=-(z_1)^3,…

  5. הצגה קוטבית: מודול וארגומנט (שאלת ביניים · קשה)

    נתונים המספרים המרוכבים z1=4cis⁡20∘z_1=4\operatorname{cis}20^\circ ו-z2=rcis⁡80∘z_2=r\operatorname{cis}80^\circ, כאשר r>0r>0.

  6. הופכי של מספר מרוכב ומתומן משוכלל (שאלה מלאה · קלה)

    נתון המספר המרוכב w=2(cos⁡135∘+isin⁡135∘)w=2(\cos135^\circ+i\sin135^\circ).

  7. שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים (שאלה מלאה · בינונית)

    מצאו את פתרונות המשוואה: z6+64=0z^6+64=0 (zz הוא מספר מרוכב).

  8. שורשים מסדר 3, ישר דרך הראשית ושטח מרובע (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה המשוואה: z3=−27z^3=-27. zz הוא משתנה מרוכב.

  9. מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)

    z=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xx ו-yy הם מספרים ממשיים).

  10. מודול וארגומנט של מספר שאינו כתוב בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · קלה)

    נתונים המספרים המרוכבים z1=−3(cos⁡40∘+isin⁡40∘)z_1=-3(\cos40^\circ+i\sin40^\circ) ו-z2=2(cos⁡50∘−isin⁡50∘)z_2=2(\cos50^\circ-i\sin50^\circ). הארגומנטים נמדדים בתחום…

  11. מספר מרוכב והופכי שלו, מצולע משוכלל בן 12 צלעות (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון המספר המרוכב w=r(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), r>0r>0, 270∘<θ<360∘270^\circ<\theta<360^\circ.

  12. מספר מרוכב ו-i/w, שתי משוואות עם פתרונות משותפים ומתומן לא משוכלל (שאלה מלאה · בינונית)

    נתון המספר המרוכב w=r(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), r>0r>0, 45∘<θ<135∘45^\circ<\theta<135^\circ.

  13. שורשים מסדר 4, נקודות על ישר דרך הראשית ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: z4=−81z^4=-81. zz הוא משתנה מרוכב.

  14. הצגה קוטבית: מודול וארגומנט (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים שני מספרים מרוכבים: w1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)w_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), w2=3r⋅(cos⁡5α+i⋅sin⁡5α)w_2=3r\cdot(\cos5\alpha+i\cdot\sin5\alpha), r>0r>0,…

  15. שורשים שלישיים של 2-2i, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: z3=2−2iz^3=2-2i. zz הוא משתנה מרוכב.

  16. הצגה קוטבית: מודול וארגומנט (שאלה קצרה · בינונית)

    z1z_1 ו-z2z_2 הם שני מספרים מרוכבים שונים זה מזה, המקיימים ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1|=|z_2|=1 וגם z1+z2=1z_1+z_2=1.

  17. נקודות על ישר דרך הראשית: ארגומנטים, מודולים ואלכסונים (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונים שלושת המספרים המרוכבים 3cis⁡60∘3\operatorname{cis}60^\circ, 3cis⁡180∘3\operatorname{cis}180^\circ, 3cis⁡300∘3\operatorname{cis}300^\circ.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.