מבחן לדוגמה: מעבר בין הצגה אלגברית לקוטבית - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את $a$.

כתבו את $-729$ בהצגה קוטבית, ומצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

מצאו את הפתרונות של המשוואה שהם מספרים מדומים טהורים, והראו שהם הפתרונות של המשוואה $z^2=-9$.

ארבעת הפתרונות האחרים של המשוואה מייצגים קודקודים של מלבן במישור גאוס.

מצאו את שטח המלבן.

חשבו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן.

מסובבים את המלבן סביב הראשית בזווית $45^\circ$ נגד כיוון השעון. כל קודקוד מוכפל ב-$cis45^\circ$.

מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן לאחר הסיבוב.

הביעו באמצעות $\alpha$ את המודול של $z$ ואת הארגומנט של $z$ (בתחום $0^\circ\le\theta<360^\circ$).

מצאו את הערך של $\alpha$ שעבורו $|z|=2$, וכתבו עבורו את $z$ בהצגה אלגברית.

הנקודה A מייצגת את המספר $w$ במישור גאוס. נתון כי שיעור ה-$y$ של הנקודה A הוא $\sqrt3$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

נתון כי הנקודה A נמצאת על הישר $x=1$.

מצאו את הערך של $r$.

נתונה המשוואה $z^6=(z_1\cdot w)^3$. $z$ הוא משתנה מרוכב.

מצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

כל אחת מן הנקודות B ו-C מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון והנקודה C נמצאת ברביע השני. המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+i\cdot y$ במישור גאוס המקיימות $|z|=b$ חותך את החלק החיובי של ציר ה-$x$ בנקודה K ואת החלק השלילי של ציר ה-$x$ בנקודה L. $b$ הוא מספר ממשי חיובי. נתון כי שטח המרובע KBCL הוא $4\sqrt3$.

מצאו את הערך של $b$.

הראו כי $|z|^2=(a^2-1)^2+8$. מצאו את הערך הקטן ביותר של $|z|$ ואת ערכי $a$ שבעבורם הוא מתקבל.

עבור כל אחד מערכי $a$ שמצאתם בסעיף א, כתבו את $z$ בהצגה אלגברית ובהצגה קוטבית.

מצאו את כל ערכי $a$ שבעבורם הנקודה המייצגת את $z$ נמצאת על הישר $y=x$, וכתבו את $z$ בהצגה קוטבית עבור כל אחד מהם.

מצאו את $z_2$ ואת פתרונות המשוואה.

נתון מספר מרוכב $z=2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$, $0^\circ\le\theta<360^\circ$, ו-$n\ge2$ מספר טבעי. נתון כי המספרים $z$ ו-$z^n$ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

הביעו באמצעות $n$ את מספר האפשרויות של $z$.

מצאו את הערך הקטן ביותר של $n$ שבעבורו כל פתרונות המשוואה מסעיף א הם בין המספרים $z$ של סעיף ב.

הציבו את הערך של $n$ שמצאתם בסעיף ג. המספרים $z$ של סעיף ב מייצגים את הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

חשבו את שטח המצולע.

מכפילים כל אחד מקודקודי המצולע של סעיף ד במספר המרוכב $u=m(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$, $m>0$, $0^\circ\le\alpha<360^\circ$. מתקבל מצולע ששטחו 108, ואחד מקודקודיו הוא המספר $3\sqrt2+3\sqrt2i$.

מצאו את $m$ ואת כל הערכים האפשריים של $\alpha$.