שאלות פתוחות: מעבר בין הצגה אלגברית לקוטבית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מעבר בין הצגה אלגברית להצגה קוטבית, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות המרה של מספרים כמו (√3-i)², מספרים שתלויים בזווית כמו 1-cosα+i sinα ו-tanα+i, שוויון בין מספר אלגברי למספר קוטבי, ומספר ברביע נתון שעליו מבצעים פעולות. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או לשאלה במבחן, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

49 שאלותקלה: 13בינונית: 28קשה: 8

שאלה 1 · מעבר בין הצגה אלגברית לקוטביתשאלה קצרה · קלה

נתון כי a(1+3i)=6(cos⁡240∘+isin⁡240∘)a(1+\sqrt{3}i)=6(\cos 240^\circ+i\sin 240^\circ)a(1+3​i)=6(cos240∘+isin240∘), כאשר aaa הוא מספר ממשי.

מצאו את aaa.

שאלה 2 · מעבר בין הצגה אלגברית לקוטביתשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=1−cos⁡α+isin⁡αz=1-\cos\alpha+i\sin\alphaz=1−cosα+isinα, כאשר 0∘<α<180∘0^\circ<\alpha<180^\circ0∘<α<180∘.

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את המודול ואת הארגומנט של zzz.

ב.

מצאו את הערך של α\alphaα שעבורו החלק הממשי של zzz שווה לחלק המדומה שלו.

שאלה 3 · קודקוד הראש כפונקציה של המודול: מעוין ושטח נתוןשאלה מלאה · קשה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα), R>0R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

נתון: zzˉ=−12−32i\frac{z}{\bar z}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}izˉz​=−21​−23​​i.

מצאו את α\alphaα.

ב.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. קודקוד הראש A מתאים למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור.

הביעו באמצעות RRR את kkk ואת המספר שמתאים לנקודה A.

ג.

מצאו את RRR שבעבורו המרובע ABOC הוא מעוין (O היא ראשית הצירים).

ד.

נתון כי שטח המשולש ABC הוא 32\frac{\sqrt3}{2}23​​. מצאו את RRR.

שאלה 4 · מעבר בין הצגה אלגברית לקוטביתשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב z=(3−i)2z=(\sqrt{3}-i)^2z=(3​−i)2.

כתבו את zzz בהצגה קוטבית (ארגומנט בתחום 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ0∘≤θ<360∘) ובהצגה אלגברית.

שאלה 5 · מעבר בין הצגה אלגברית לקוטביתשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=tan⁡α+iz=\tan\alpha+iz=tanα+i, כאשר 90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ90∘<α<180∘.

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את המודול של zzz ואת הארגומנט של zzz (בתחום 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ0∘≤θ<360∘).

ב.

מצאו את הערך של α\alphaα שעבורו ∣z∣=2|z|=2∣z∣=2, וכתבו עבורו את zzz בהצגה אלגברית.

שאלה 6 · מקום גאומטרי עם פרמטר ומשושים מסובביםשאלה מלאה · קשה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים), ו-k≠−2k\neq-2k=−2 הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2−ki∣=∣z2+2i∣|z^2-ki|=|z^2+2i|∣z2−ki∣=∣z2+2i∣. הביעו באמצעות kkk.

ב.

פתרו את המשוואה z6=−64z^6=-64z6=−64. הפתרונות מייצגים את קודקודיו של מצולע I.

ג.

מצאו לאילו ערכי kkk המקום הגאומטרי מסעיף א חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I.

ד.

מצאו את הערך של kkk שעבורו אחת מנקודות החיתוך ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I. האם גם נקודת החיתוך השנייה ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I?

ה.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ד, נקודת החיתוך ברביע הרביעי שאינה קודקוד של מצולע I היא קודקוד של משושה משוכלל II החסום באותו מעגל.

מצאו את כל המספרים www שהכפל בהם מעביר את קודקודי מצולע I בדיוק על קודקודי מצולע II.

שאלה 7 · המנה של מספר מרוכב בצמוד שלו ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · קלה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα), R>0R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

הראו כי zzˉ=cos⁡2α+isin⁡2α\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alphazˉz​=cos2α+isin2α.

ב.

נתון: zzˉ=−i\frac{z}{\bar z}=-izˉz​=−i.

מצאו את α\alphaα.

ג.

נתון: ∣2iz∣+∣zˉ∣=62|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2∣2iz∣+∣zˉ∣=62​.

מצאו את RRR, וכתבו את zzz בהצגה אלגברית.

ד.

הנקודות B ו-C מתאימות למספרים zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. הנקודה A מתאימה למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור. המשולש ABC שווה שוקיים שבסיסו BC.

הסבירו מדוע A נמצאת על הציר הממשי, ומצאו את kkk ואת שטח המשולש ABC.

שאלה 8 · מספר מרוכב ברביע הרביעי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוסשאלה מלאה · בינונית

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα) נמצא במישור גאוס ברביע הרביעי.

א.

נתון: zzˉ=12−32i\frac{z}{\bar z}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}izˉz​=21​−23​​i.

מצאו את α\alphaα.

ב.

נתון: ∣3iz∣−∣zˉi∣+∣zzˉ∣=5|3iz|-\left|\frac{\bar z}{i}\right|+\left|\frac{z}{\bar z}\right|=5∣3iz∣−​izˉ​​+​zˉz​​=5.

מצאו את RRR.

ג.

נתונה המשוואה: w9=z664w^9=\frac{z^6}{64}w9=64z6​ (zzz הוא המספר שמצאתם). הראו כי המספר zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ הוא אחד הפתרונות של המשוואה.

ד.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. קודקוד הראש A מתאים למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור.

(1)

מהו הערך של kkk?

(2)

חשבו את שטח המרובע ABOC (הנקודה O היא ראשית הצירים).

שאלה 9 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועיםשאלה מלאה · קשה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64. נתונה משוואה II: (z−c)6=−64(z-c)^6=-64(z−c)6=−64, כאשר ccc הוא מספר מרוכב קבוע ו-zzz מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הסבירו מדוע לכל ccc הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל, ומצאו את מרכז המשושה ואת אורך צלעו.

(2)

ידוע כי z=0z=0z=0 ו-z=23z=2\sqrt3z=23​ הם פתרונות של משוואה II. מצאו את כל הערכים האפשריים של ccc.

ג.

(1)

הציבו את הערך של ccc שהחלק המדומה שלו חיובי. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II, ומצאו את משוואת המעגל שעליו הם נמצאים.

(2)

הפתרונות של משוואה II שהנקודות המייצגות אותם נמצאות על צירי מישור גאוס הם קודקודים של משולש. מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המשולש.

שאלה 10 · מספרים צמודים וחזקות בדה-מואבר: שלבים מודרכיםשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=(a−3)+(a−1)iz_1=(a-3)+(a-1)iz1​=(a−3)+(a−1)i, z2=(1−a)+(3−2a)iz_2=(1-a)+(3-2a)iz2​=(1−a)+(3−2a)i. aaa הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​ צמודים זה לזה.

ב.

כתבו את z1z_1z1​ ואת z2z_2z2​ בהצגה קוטבית.

ג.

הציבו a=2a=2a=2. נתונים המספרים w1=(z12)4nw_1=\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^{4n}w1​=(2​z1​​)4n ו-w2=(z22)4n+2w_2=\left(\frac{z_2}{\sqrt2}\right)^{4n+2}w2​=(2​z2​​)4n+2, כאשר nnn מספר טבעי.

(1)

הראו כי (z12)4=−1\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^4=-1(2​z1​​)4=−1, והסיקו כי w1w_1w1​ הוא מספר ממשי לכל nnn טבעי.

(2)

הראו כי w2w_2w2​ הוא מספר מדומה טהור לכל nnn טבעי.

ד.

מצאו את ppp ואת mmm הממשיים שבעבורם המשוואה ∣z−p∣=m|z-p|=m∣z−p∣=m מתארת מעגל שעליו נמצאים w1w_1w1​ ו-w2w_2w2​ לכל nnn טבעי.

עוד 29 שאלות על מעבר בין הצגה אלגברית לקוטבית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=(a^2-2a+1)\sqrt3+(a^2-3)i$ $z_2=(3a-5)\sqrt3+(1-a)i$ $a$ הוא פרמטר ממשי.
מספרים מרוכבים: תנאי עם חזקה כללית ומצולע בן 12 צלעות (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-21-12i$ . $z_1=3-2i$ . נתונה המשוואה $w^3=z_1+z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב.
שורשי היחידה מסדר 6: משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^6=1$ , $z$ הוא מספר מרוכב. המספר $z_0$ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון במישור גאוס.
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה מסדר 8, משולש וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=\frac{1}{z^4}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע…
שורשים של מספר מדומה, ישר דרך הראשית ופרמטרים במישור גאוס (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה: $z^3=64i$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובב (שאלה מלאה · קלה)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מקום גאומטרי של z², שורשים מסדר שלישי ומשולש מסובב (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $0^\circ<\theta<90^\circ$ , $r>0$ . מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה…
שורשים מסדר 6 והזזה: מעגל, דלתון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה משוואה I: $w^6=-64$ , ונתונה משוואה II: $(z-i)^6=-64$ , כאשר $w$ ו- $z$ הם מספרים מרוכבים.
שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה משוואה I: $w^6=64$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
מעבר בין הצגה אלגברית לקוטבית (שאלה קצרה · קשה)
נתון המספר המרוכב $z=1-\cos\alpha+i\sin\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<180^\circ$ .
שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^6=-729$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+64=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספר מרוכב עם פרמטר: מודול מינימלי והצגות קוטביות (שאלת ביניים · קשה)
נתון המספר המרוכב $z=2a+(a^2-3)i$ , כאשר $a$ הוא מספר ממשי. הארגומנטים נמדדים בתחום $0^\circ\le\theta<360^\circ$ .
מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא 17. $z_1=-4+i$ .
מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $19+4i$ . $z_1=3+2i$ .
שורשים מסדר 3, ישר דרך הראשית ושטח מרובע (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה: $z^3=-27$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ , שהמנה שלהם היא $\frac{z_1}{z_2}=-3-2i$ . $z_1=-5+i$ .
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: זווית, שורשים רביעיים ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
שורשים מסדר 4, נקודות על ישר דרך הראשית ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=-81$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים: פרבולה, הופכי, שורשים ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$ , $r>0$ .
שורשים שלישיים של 2-2i, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^3=2-2i$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מעבר בין הצגה אלגברית לקוטבית (שאלה קצרה · קלה)
נתון כי $a(1+\sqrt{3}i)=6(\cos 240^\circ+i\sin 240^\circ)$ , כאשר $a$ הוא מספר ממשי.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים מסדר 6 ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac2r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
הצגה קוטבית: מודול וארגומנט (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $z=\frac{a+i}{1-i}$ , כאשר $a$ הוא מספר ממשי. ידוע כי הארגומנט של $z$ הוא $60^\circ$ .
מעבר בין הצגות: שתי נקודות על מעגל וסכומן (שאלת ביניים · בינונית)
במישור גאוס הנקודה $A$ מייצגת את המספר $z_1=-2\sqrt3+2i$ . $O$ היא ראשית הצירים. הארגומנטים נמדדים בתחום $0^\circ\le\theta<360^\circ$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מספר מרוכב ברביע השלישי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע השלישי.
מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=(2a^2+5a+4)+(2a^2+3a+2)i$ $z_2=(a^2+8a+8)+(2-a^2+2a)i$ $a$ הוא פרמטר ממשי.
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה, משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=\frac{1}{z^3}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.
מקום גאומטרי של z², שורשי היחידה ומצולע מסובב · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
שורשים מסדר 6, הזזה במישור גאוס, משושה משוכלל ודלתון · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 3
נתונה משוואה I: $w^6=-27$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספרים מרוכבים: שורשים, תנאי על ישר דרך הראשית ושטח מצולע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-19+4i$ . $z_1=2+3i$ .
שורשים מסדר 3, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=-64$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: מציאת פרמטרים, שורשים ושטח מרובע במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)$ ,…
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 3
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-3i|=\frac{z-\bar z}{2i}+3$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.