מבחן לדוגמה: כפל וחילוק בהצגה קוטבית - כיתה י"ב 5 יח"ל

הוכיחו כי המשולש $OAB$ שווה-צלעות.

כתבו את $w$ בהצגה אלגברית, וחשבו את שטח המשולש $OAB$.

הציגו את $z_1$ בצורה $x+iy$, ומצאו את משוואת המעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר בנקודה המייצגת את $z_1$.

הנקודה המייצגת את $z_1$ היא קודקוד של ריבוע החסום במעגל.

מצאו את שאר קודקודי הריבוע, וחשבו את שטחו.

מכפילים כל אחד מארבעת המספרים המייצגים את קודקודי הריבוע ב-$w=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$.

מהו סוג המרובע שקודקודיו מיוצגים על ידי ארבע התוצאות? חשבו את שטחו.

עכשיו מכפילים ב-3 רק את שני המספרים $z_1$ ו-$-z_1$, ואת שני הקודקודים האחרים של הריבוע מסעיף ב משאירים כמו שהם.

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו, וחשבו את שטחו.

הראו כי $\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alpha$.

נתון: $\frac{z}{\bar z}=-i$.

מצאו את $\alpha$.

נתון: $|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2$.

מצאו את $R$, וכתבו את $z$ בהצגה אלגברית.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

נתון מספר מרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, $0^\circ<\theta<90^\circ$, $r>0$. נתון מצולע קמור I, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4=\frac{16}{r^4}\cdot(\cos(4\theta)+i\sin(4\theta))$, $z$ הוא משתנה מרוכב.

הביעו באמצעות $r$ ו-$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I.

נתון מצולע II, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$, $-w$, $\frac2w$, $-\frac2w$.

הביעו באמצעות $r$ ו-$\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע II.

נתון כי מצולע II הוא מעוין.

מצאו את הערך של $\theta$.

נתון כי הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

מצאו את היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

$u$ הוא מספר מרוכב. הנקודה $E$, שמיוצגת על ידי המספר $u$, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית $BOA$. נתון כי $|u|>1$, $\bar u+\frac1u=\frac{10}3(\cos292.5^\circ+i\cdot\sin292.5^\circ)$.

מצאו את המספר המרוכב $u$.

הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על הפרבולה $x^2=4y$. מצאו את $r$, וכתבו את $w$ בהצגה אלגברית.

מצולע II הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$, $-w$, $\frac1w$, $-\frac1w$. כתבו את ארבעת המספרים בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

הראו כי מצולע II הוא מעוין, ומצאו את שטחו.