שאלות פתוחות: כפל וחילוק בהצגה קוטבית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על כפל וחילוק מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מכפלה ומנה של מספרים כמו 1+i ו-√3-i, מספרים עם ארגומנט α ו-2α, מספר שהוא מנה של 1+i tanα ו-1-i tanα, וסיבוב נקודה במישור גאוס בכפל. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. השיעור מתאים להרכבת מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

60 שאלותקלה: 12בינונית: 37קשה: 11

שאלה 1 · כפל וחילוק בהצגה קוטביתשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס הנקודה AAA מייצגת את המספר z=2+2iz=2+2iz=2+2i, והנקודה BBB מייצגת את המספר w=z⋅(cos⁡60∘+isin⁡60∘)w=z\cdot(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ)w=z⋅(cos60∘+isin60∘). OOO היא ראשית הצירים.

א.

הוכיחו כי המשולש OABOABOAB שווה-צלעות.

ב.

כתבו את www בהצגה אלגברית, וחשבו את שטח המשולש OABOABOAB.

שאלה 2 · כפל וחילוק בהצגה קוטביתשאלה קצרה · בינונית

נתונים המספרים המרוכבים z1=1+iz_1=1+iz1​=1+i ו-z2=3−iz_2=\sqrt{3}-iz2​=3​−i. נסמן w=z1⋅z2w=z_1\cdot z_2w=z1​⋅z2​.

א.

כתבו את www בהצגה קוטבית.

ב.

כתבו את www בהצגה אלגברית, ומצאו מכאן את הערך המדויק של tan⁡15∘\tan 15^\circtan15∘.

שאלה 3 · ריבוע במישור גאוס וסיבוב בזווית פרמטרית: מתי יש מרובע ומה סוגושאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z2+zzˉ=3z−zˉ+12+8iz^2+z\bar z=3z-\bar z+12+8iz2+zzˉ=3z−zˉ+12+8i, zzz הוא מספר מרוכב. z1z_1z1​ הוא הפתרון של המשוואה המיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון של מישור גאוס. חוסמים במעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר דרך z1z_1z1​ ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי z1z_1z1​.

א.

מצאו את z1z_1z1​ ואת שאר קודקודי הריבוע.

ב.

מכפילים ב-r1(cos⁡α+isin⁡α)r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)r1​(cosα+isinα) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב-r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))r2​(cos(α+β)+isin(α+β)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני הקודקודים שנמצאים ברביעים השני והרביעי. r1r_1r1​ ו-r2r_2r2​ חיוביים, 0∘<β<180∘0^\circ<\beta<180^\circ0∘<β<180∘.

(1)

עבור איזה ערך של β\betaβ ארבע הנקודות שהתקבלו אינן יוצרות מרובע? נמקו.

(2)

עבור שאר ערכי β\betaβ, קבעו מהו סוג המרובע שהתקבל, ובאיזה תנאי הוא מלבן. האם הוא יכול להיות מעוין? נמקו.

ג.

נתון: r1⋅r2=2r_1\cdot r_2=2r1​⋅r2​=2, ושטח המרובע שהתקבל שווה לשטח הריבוע.

מצאו את β\betaβ (שתי אפשרויות).

שאלה 4 · כפל וחילוק בהצגה קוטביתשאלה קצרה · קלה

נתונים המספרים המרוכבים z1=3−iz_1=\sqrt{3}-iz1​=3​−i ו-z2=−1+iz_2=-1+iz2​=−1+i (ראו שרטוט). נסמן w=z12z2w=\frac{z_1^2}{z_2}w=z2​z12​​.
OReImz₁z₂

כתבו את www בהצגה קוטבית (ארגומנט בתחום 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ0∘≤θ<360∘).

שאלה 5 · כפל וחילוק בהצגה קוטביתשאלה קצרה · בינונית

נתונים המספרים המרוכבים z1=2(cos⁡α+isin⁡α)z_1=2(\cos\alpha+i\sin\alpha)z1​=2(cosα+isinα) ו-z2=3(cos⁡2α+isin⁡2α)z_2=3(\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha)z2​=3(cos2α+isin2α), כאשר 0∘<α<180∘0^\circ<\alpha<180^\circ0∘<α<180∘.

א.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שעבורם המכפלה z1⋅z2z_1\cdot z_2z1​⋅z2​ היא מספר מדומה טהור.

ב.

חשבו את המכפלה z1⋅z2z_1\cdot z_2z1​⋅z2​ עבור כל אחד מהערכים שמצאתם.

שאלה 6 · קודקוד הראש כפונקציה של המודול: מעוין ושטח נתוןשאלה מלאה · קשה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα), R>0R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

נתון: zzˉ=−12−32i\frac{z}{\bar z}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}izˉz​=−21​−23​​i.

מצאו את α\alphaα.

ב.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. קודקוד הראש A מתאים למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור.

הביעו באמצעות RRR את kkk ואת המספר שמתאים לנקודה A.

ג.

מצאו את RRR שבעבורו המרובע ABOC הוא מעוין (O היא ראשית הצירים).

ד.

נתון כי שטח המשולש ABC הוא 32\frac{\sqrt3}{2}23​​. מצאו את RRR.

שאלה 7 · ריבוע במישור גאוס: סיבוב, מתיחה וזיהוי מרובעשאלה מלאה · קלה

נתון המספר המרוכב z1=52−iz_1=\frac{5}{2-i}z1​=2−i5​.

א.

הציגו את z1z_1z1​ בצורה x+iyx+iyx+iy, ומצאו את משוואת המעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר בנקודה המייצגת את z1z_1z1​.

ב.

הנקודה המייצגת את z1z_1z1​ היא קודקוד של ריבוע החסום במעגל.

מצאו את שאר קודקודי הריבוע, וחשבו את שטחו.

ג.

מכפילים כל אחד מארבעת המספרים המייצגים את קודקודי הריבוע ב-w=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)w=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)w=2(cos30∘+isin30∘).

מהו סוג המרובע שקודקודיו מיוצגים על ידי ארבע התוצאות? חשבו את שטחו.

ד.

עכשיו מכפילים ב-3 רק את שני המספרים z1z_1z1​ ו-−z1-z_1−z1​, ואת שני הקודקודים האחרים של הריבוע מסעיף ב משאירים כמו שהם.

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו, וחשבו את שטחו.

שאלה 8 · כפל וחילוק בהצגה קוטביתשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב w=1+itan⁡α1−itan⁡αw=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}w=1−itanα1+itanα​, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

א.

הראו כי ∣w∣=1|w|=1∣w∣=1, והביעו את הארגומנט של www באמצעות α\alphaα.

ב.

מצאו את הערך של α\alphaα שעבורו w=12+32iw=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}iw=21​+23​​i.

שאלה 9 · מספרים מרוכבים: מתי המשולש ישר-זווית ובאיזה רדיוסשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z3=−1z3z^3=-\frac{1}{z^3}z3=−z31​, zzz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0z0​ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.

א.

מצאו את המספר המרוכב z0z_0z0​.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0d⋅z0​, di⋅z0di\cdot z_0di⋅z0​ ו-d⋅(z0)md\cdot(z_0)^md⋅(z0​)m בהתאמה. d>0d>0d>0 הוא פרמטר, ו-mmm הוא מספר טבעי, 1<m<121<m<121<m<12.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם המשולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1−i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1-i)w=((z0​)2−(z0​)21​)(1−i).

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣ ואת הארגומנט של www.

ד.

מצאו את כל הערכים של ddd שעבורם המספר הטבעי הקטן ביותר nnn שעבורו wnw^nwn הוא מספר מדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC הוא n=6n=6n=6.

שאלה 10 · המנה של מספר מרוכב בצמוד שלו ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · קלה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z=R(cosα+i⋅sinα), R>0R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

הראו כי zzˉ=cos⁡2α+isin⁡2α\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alphazˉz​=cos2α+isin2α.

ב.

נתון: zzˉ=−i\frac{z}{\bar z}=-izˉz​=−i.

מצאו את α\alphaα.

ג.

נתון: ∣2iz∣+∣zˉ∣=62|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2∣2iz∣+∣zˉ∣=62​.

מצאו את RRR, וכתבו את zzz בהצגה אלגברית.

ד.

הנקודות B ו-C מתאימות למספרים zzˉ\frac{z}{\bar z}zˉz​ ו-zˉz\frac{\bar z}{z}zzˉ​. הנקודה A מתאימה למספר z+kz+kz+k, kkk הוא מספר מדומה טהור. המשולש ABC שווה שוקיים שבסיסו BC.

הסבירו מדוע A נמצאת על הציר הממשי, ומצאו את kkk ואת שטח המשולש ABC.

עוד 40 שאלות על כפל וחילוק בהצגה קוטבית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
המספר המרוכב $z\neq 0$ מקיים את המשוואה $z(1+\sqrt{3}i)=2\bar{z}$ .
סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: מיון איברים וסכומים חלקיים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע הראשון. נתון: $(z_1)^3=z_3$ ,…
שורשי היחידה מסדר 6: משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^6=1$ , $z$ הוא מספר מרוכב. המספר $z_0$ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון במישור גאוס.
משוואה במרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב בזוויות שונות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^2+z\bar z=z-2\bar z+3-2i$ , $z$ הוא מספר מרוכב. $z_1$ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס…
מעוין, הופכיים ומצולע משוכלל כללי (שאלה מלאה · קשה)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב…
סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, דה-מואבר וסכום (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע הראשון. נתון: $(z_1)^3=z_3$ ,…
מספר מרוכב ברביע הרביעי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע הרביעי.
שורשים מסדר 6: כל המכנים שמשאירים ארבעה פתרונות וסיבוב (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מעוין במישור גאוס: קודקודים, הופכיים ומשוואה (שאלה מלאה · קלה)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע השלישי.
שורשים של מספר מדומה, ישר דרך הראשית ופרמטרים במישור גאוס (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה: $z^3=64i$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^6=-729$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה מסדר 8, משולש וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=\frac{1}{z^4}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע…
מספרים מרוכבים: שני פרמטרים משני תנאים, חזקות וחקירת חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
הופכי של מספר מרוכב ומתומן משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתון המספר המרוכב $w=2(\cos135^\circ+i\sin135^\circ)$ .
כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר $z=\text{cis}(-15^\circ)$ . נגדיר: $w=\left(z^2-\frac{1}{z^2}\right)(\sqrt3+i)$ .
מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $0^\circ<\theta<90^\circ$ , $r>0$ . מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה…
שורשים מסדר 3, ישר דרך הראשית ושטח מרובע (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה: $z^3=-27$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, איברים ממשיים ומדומים וסכום (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע השני. נתון: $z_3=-(z_1)^3$ ,…
מספר על חוצה זווית: צמוד והופכי בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · קשה)
במישור גאוס $O$ היא ראשית הצירים, הנקודה $A$ מייצגת את המספר $3\operatorname{cis}45^\circ$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $4i$ .
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: זווית, שורשים רביעיים ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $\left(\overline z\right)^3=-4z$ , כאשר $z$ מספר מרוכב שונה מ-0.
מספר על פרבולה, המספרים ההופכיים ומעוין (שאלת ביניים · קשה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$ , $r>0$ .
מספרים מרוכבים: פרבולה, הופכי, שורשים ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$ , $r>0$ .
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי משוואה (שאלה מלאה · בינונית)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המספרים $z_1=2(\cos20^\circ+i\sin20^\circ)$ ו- $z_2=4(\cos110^\circ+i\sin110^\circ)$ .
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+64=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספר מרוכב והופכי שלו, מצולע משוכלל בן 12 צלעות (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $270^\circ<\theta<360^\circ$ .
כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r\,cis\,\theta$ , $r>0$ , $0^\circ<\theta<90^\circ$ . הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את…
מספר מרוכב ו-i/w, שתי משוואות עם פתרונות משותפים ומתומן לא משוכלל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $45^\circ<\theta<135^\circ$ .
שורשים מסדר 4, נקודות על ישר דרך הראשית ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=-81$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
$u$ הוא מספר מרוכב. הנקודה שמייצגת את $u$ נמצאת ברביע הראשון, על חוצה הזווית שבין החלק החיובי של הציר הממשי לחלק החיובי של הציר המדומה. נתון…
שורשים שלישיים של 2-2i, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^3=2-2i$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
כפל וחילוק בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המספרים המרוכבים $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים מסדר 6 ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac2r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
כפל וחילוק בהצגה קוטבית עם פרמטרים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
המנה של מספר מרוכב בצמוד שלו ומשולש שווה שוקיים (שאלת ביניים · בינונית)
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $R>0$ , נמצא במישור גאוס ברביע השני.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משוואה במספרים מרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב קודקודים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^2+z\bar z=z+2\bar z+9+7i$ , $z$ הוא מספר מרוכב. $z_1$ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל…
מספר מרוכב ברביע השלישי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע השלישי.
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה, משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=\frac{1}{z^3}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.
סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, איברים ממשיים ומדומים וסכום · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 3
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע הראשון. נתון: $(z_1)^3=z_3$ , $-2z_1=\overline{z_3}$ .
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי יחידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג את הקודקוד A. נתון:…
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספר מרוכב והופכי שלו, שתי משוואות ומצולע משוכלל · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 3
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $90^\circ<\theta<180^\circ$ .
שורשים מסדר 3, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=-64$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: מציאת פרמטרים, שורשים ושטח מרובע במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)$ ,…
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 3
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-3i|=\frac{z-\bar z}{2i}+3$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.